Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Αναστροφή της επεξεργασίας από τον 2A02:587:D00A:5700:7C:DDA7:57F7:FC5C (συνεισφ.), επι... |
μ →top |
||
Γραμμή 1:
Στα [[μαθηματικά]], οι '''αριθμοί του Πελ''' είναι μια άπειρη [[ακολουθία]] [[Ακέραιοι αριθμοί|ακεραίων αριθμών]] που είναι γνωστοί
Μαζί, οι αριθμοί του Πελ και οι ''companion''
Όπως και με την [[εξίσωση του Πελ]], το όνομα των αριθμών του Πελ πηγάζει από την λανθασμένη απόδοση του [[Λέοναρντ Όιλερ]] της εξίσωσης και των αριθμών που προέρχονται απ αυτήν του [[Τζον Πελ]]. Οι αριθμοί Πελ-Λούκας έχουν επίσης ονομαστεί από τον [[Έντουαρντ Λούκας]], που μελέτησε ακολουθίες που καθορίζονται από επαναλήψεις του τύπου αυτού. Οι αριθμοί Πελ και οι companion αριθμοι Πελ είναι [[ακολουθία του Λούκας|ακολουθίες του Λούκας]].
Γραμμή 10:
Οι αριθμοί του Πελ ορίζονται από την [[σχέση επανάληψης]]
:<math>P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\1&\mbox{if }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>
Με λόγια, η ακολουθία των αριθμών του Πελ ξεκινάει με 0 και 1, και μετά κάθε ένας αριθμός του Πελ είναι το άθροισμα του διπλάσιου προηγούμενου αριθμού Πελ και του αριθμού του Πελ πριν απ' αυτόν. Μερικοί απ τους πρώτους όρους της ακολουθίας είναι <br/>[[0 (αριθμός)|0]], [[1 (αριθμός)|1]], [[2 (αριθμός)|2]], [[5 (αριθμός)|5]], [[12 (αριθμός)|12]], [[29 (αριθμός)|29]], [[70 (αριθμός)|70]], [[169 (αριθμός)|169]], 408, 985, 2378...
Οι αριθμοί του Πελ μπορούν επίσης να εκφραστούν με τον τύπο κλειστής μορφής
Γραμμή 34 ⟶ 33 :
Έτσι, οι λύσεις έχουν τη μορφή <math>\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>. Η προσέγγιση
:<math>\sqrt 2\approx\frac{577}{408}</math>
<br/> αυτού του τύπου ήταν γνωστή στους Ινδούς μαθηματικούς από τον τρίτο ή τέταρτο αιώνα π.Χ. <ref>Όπως καταγράφεται στο [[Shulba Sutras]]; βλέπε π.χ. Dutka (1986),ο οποίος παραθέτει Thibaut (1875) για αυτήν την πληροφορία.</ref> Οι Έλληνες μαθηματικοί του πέμπτου αιώνα π.Χ. ήξεραν επίσης γι' αυτήν την ακολουθία των προσεγγίσεων: <ref>Βλέπε Knorr (1976) για τον πέμπτο αιώνα, ο οποίος ταιριάζει τον ισχυρισμό του [[Πρόκλος|Πρόκλου]] ότι οι αριθμοί πλευράς και διαμέτρου ανακαλύφθηκαν από τους [[Πυθαγόρειοι|Πυθαγόρειους]].Για πιο λεπτομερή εξερεύνηση της μεταγενέστερης ελληνικής γνώσης αυτών των αριθμών βλέπε Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998), and Filep (1999).</ref> Ο Πλάτωνας αναφέρεται στους αριθμητές ως τις '''ρητές διαμέτρους'''.<ref> Για παράδειγμα, όπως πολλές από τις παραπομπές από το προηγούμενο σημείωμα παρατηρούν, στην [[Πολιτεία του Πλάτωνα]] υπάρχει μια αναφορά στην "ρητή διάμετρο του 5", με την οποία ο [[Πλάτων]] εννοεί 7, τον αριθμητή της προσέγγισης 7/5 της οποίας το 5 είναι ο παρονομαστής.</ref> Τον 2ο αιώνα μ.Χ. ο [[Θέων της Σμύρνης]] χρησιμοποίησε τον όρο '''αριθμοί πλευράς και διαμέτρου''' για να περιγράψει τους παρονομαστές και τους αριθμητές αυτής της ακολουθίας.<ref>{{citation|title=History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid|first=Sir Thomas Little|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1921|isbn=9780486240732|page=112|url=http://books.google.co.uk/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA112}}.</ref><br/>Οι προσεγγίσεις αυτές θα μπορούσαν να προέρχονται από το [[συνεχές κλάσμα]] εάν είχαν επεκταθεί κατά <math>\scriptstyle\sqrt 2</math>:
:<math>\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}.</math>
Περικόπτοντας αυτή την επέκταση σε οποιονδήποτε αριθμό των όρων παράγει έναν από τους αριθμούς του Πελ βασισμένοι στις προσεγγίσεις των αριθμών αυτών. Για παράδειγμα,:<math>\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.</math>
|