Π (μαθηματική σταθερά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|π}} (μαθηματική σταθερά)}}

{{Μτφ-επιμέλεια}}

{{Πλαίσιο π (μαθηματική σταθερά)}}

Ο αριθμός '''{{pi}}''' είναι μια [[μαθηματική σταθερά]] οριζόμενη ως ο [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] της [[Περιφέρεια (μαθηματικά)|περιφέρειας]] προς τη [[διάμετρος|διάμετρο]] ενός [[κύκλος|κύκλου]], ενώ με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων είναι ίση με {{mvar|3,14159265}}. Εκφράζεται με το ελληνικό γράμμα {{pi}} από τα μέσα του 18ου αιώνα, παρότι επίσης μερικές φορές γράφεται ως ''pi''.

 

Τον 20ό και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και [[Πληροφορική|πληροφορικοί]] ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που, όταν συνδυάζονται με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επεκτείνουν τη δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (10¹³) ψηφία (2011). Οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν γενικά περισσότερα από 40 ψηφία του π· έτσι το πρωταρχικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η ανθρώπινη επιθυμία να σπάει ρεκόρ. Οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που εμπλέκονται στον υπολογισμό των ψηφίων του π έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]] και σε [[αλγόριθμος|αλγόριθμους]] πολλαπλασιασμού υψηλής ακρίβειας.

 

 

{{TOClimit|limit=3}}

===Ιδιότητες===

Το π είναι ένας [[άρρητος αριθμός]], που σημαίνει ότι αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακεραίων, όπως <math>\frac{22}{7}</math> ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγισή του.<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> Δεδομένου ότι το π είναι άρρητος, έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων σε [[δεκαδική αναπαράσταση]], και αυτό δεν τελειώνει με μια απείρως [[σειρά|επαναλαμβανόμενη σειρά]] ψηφίων. Υπάρχουν αρκετές [[αποδείξεις ότι π είναι άρρητος|αποδείξεις ότι το π είναι άρρητος]] οι οποίες γενικά απαιτούν λογισμό και επικαλούνται την [[Εις άτοπον απαγωγή|εις άτοπον]] απαγωγή. Ο βαθμός στον οποίο μπορεί το π να είναι προσεγγιστικά [[ρητός αριθμός]] (που ονομάζεται το [[Άρρητος αριθμός|μέτρο της αρρητότητας]]) δεν είναι ακριβώς γνωστό· εκτιμήσεις καθόρισαν ότι το μέτρο της αρρητότητας είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του <math>e</math> ή ln(2), αλλά μικρότερο από το μέτρο των αριθμών του [[Liouville]].<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S }}</ref>

 

Ο π είναι ένας [[Αλγεβρικός αριθμός|υπερβατικός αριθμός]], πράγμα που σημαίνει πως δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού [[Πολυώνυμο|πολυωνύμου]] με [[Ρητός αριθμός|ρητούς συντελεστές]], όπως <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of π|accessdate=4 November 2007}}</ref><ref>The polynomial shown is the first few terms of the [[Taylor series]] expansion of the [[sine]] function.</ref>Η υπέρβαση του π έχει δύο σημαντικές επιπτώσεις: Πρώτον, ο π δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε συνδυασμό ρητών και τετραγωνικών αριθμών ή [[ρίζα (μαθηματικά)|''ν''-ιοστων ριζών]] όπως <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> ή <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Δεύτερον, δεδομένου ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί κάποιος [[υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]] με [[Κανόνας (μαθηματικά)|κανόνα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]], δεν είναι δυνατόν να "[[Τετραγωνισμός του κύκλου|τετραγωνιστεί ο κύκλος]]". Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση προς την έκταση ενός δεδομένου κύκλου.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν ένα από τα σημαντικότερα γεωμετρικά προβλήματα της [[Κλασική αρχαιότητα|κλασικής αρχαιότητας]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Ερασιτέχνες μαθηματικοί στη σύγχρονη εποχή μερικές φορές προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο, και μερικές φορές ισχυρίζονταν επιτυχία, παρά το γεγονός ότι είναι αδύνατο.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}<br />{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>

 

===Συνεχόμενα Κλάσματα===

Όπως όλους τους άρρητους αριθμούς, ο π δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Αλλά κάθε άρρητος αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του π, μπορεί να εκπροσωπηθεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται [[συνεχόμενο κλάσμα]]:

 

* γεωμετρεί = 9

 

 

===Εποχή πολύγωνου προσέγγισης===

Στην Αρχαία Κίνα, οι τιμές για το π περιλαμβάνονται 3.1547 (γύρω στο 1 μ.Χ.), <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (100 μ.Χ, περίπου 3.1623), και <math>\frac{142}{45}</math> (3ο αιώνα, περίπου 3.1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Περίπου το 265 μ.Χ., στο [[Δυτικό Βασίλειο]] ο μαθηματικός [[Liu Hui]] δημιούργησε ένα [[Πολύγωνο|πολύγωνο με βάση τον επαναληπτικό αλγόριθμο]] και το χρησιμοποίησε με ένα πολύγωνο 3,072-διπλής όψης, για να πάρει μια τιμή του π την&nbsp;3.1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref>Αργότερα ο Liu ανακάλυψε μια ταχύτερη μέθοδο υπολογισμού του π και λαμβάνεται η τιμή 3.14 με ένα πολύγωνο 96-διπλής όψης, αξιοποιώντας το γεγονός ότι οι διάφορες τιμές στην περιοχή των διαδοχικών πολυγώνων αποτελούν μια γεωμετρική σειρά με συντελεστή &nbsp;4.<ref name="autogenerated202" /> Ο Κινέζος μαθηματικός [[Zu Chongzhi]], γύρω στο 480 μ.Χ., υπολόγισε ότι π&nbsp;≈&nbsp;355/113 (ένα κλάσμα που πηγαίνει από το όνομα [[Milü]] στα Κινέζικα), χρησιμοποιώντας τον [[αλγόριθμος|αλγόριθμο του Liu Hui]] εφαρμόζεται σε ένα πολύγωνο 12,288-πλευρών. Με μια σωστή τιμή για τα επτά πρώτα δεκαδικά ψηφία,αυτή η τιμή 3.141592920... παραμένει η πιο ακριβής προσέγγιση του π διαθέσιμη για τα επόμενα 800 χρόνια.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>

 

Ο Πέρσης αστρονόμος [[Jamshīd al-Kāshī]] παρήγαγε 16 ψηφία το 1424 χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο με 3×2²⁸ πλευρές,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link|date=June 2015}} | format=PDF | separator=,| ref=harv}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=August 11, 2012 | separator=,}}</ref> το οποίο αντιπροσωπεύει για 180 περίπου χρόνια παγκόσμιο ρεκορ.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Ο Γάλλος μαθηματικός [[François Viète]] το 1579 κατόρθωσε(να παράγει) 9 ψηφία με ένα πολύγωνο με 3×2¹⁷ πλευρές.<ref name="Arndt_f" /> Ο Φλαμανδός μαθηματικός [[Adriaan van Roomen]] έφτασε στα 15 δεκαδικά ψηφία το 1593.<ref name="Arndt_f" /> Το 1596, ο Ολλανδός μαθηματικός [[Ludolph van Ceulen]] έφτασε τα 20 ψηφία, ένα ρεκορ που αργότερα αυξήθηκε στα 35 ψηφία (ως εκ τούτου, το π ονομαζόταν "αριθμός Ludolphian" στη Γερμανία μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ο Ολλανδός μαθηματικός [[Willebrord Snellius]] έφτασε τα 34 ψηφία το 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> και ο Αυστριακός μαθηματικός [[Christoph Grienberger]] έφτασε τα 38 ψηφία το 1630,<ref>{{cite book | first=Christophorus | last=Grienbergerus | authorlink=Christoph Grienberger| language=Latin | year=1630 | title={{lang|la|Elementa Trigonometrica|nocat=true}} | url=http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf | format=PDF}} His evaluation was 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> τα οποία παραμένουν η ακριβέστερη προσέγγιση με μη αυτόματο τρόπο να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τον πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref name="Arndt_g" />

 

Η ανάπτυξη τεχνικών των [[σειρά|απειροσειρών]] έφεραν επανάσταση στον υπολογισμό του π, τον 16ο και 17ο αιώνα. Μια άπειρη σειρά είναι το άθροισμα των όρων της άπειρης ακολουθίας [[sequence (mathematics)|sequence]].<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Μια άπειρη σειρά επιτρέπει στους μαθηματικούς να υπολογίσουν το π με μεγαλύτερη ακρίβεια από τον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] και άλλους που χρησιμοποίησαν μαθηματικές τεχνικές.<ref name="Ais" /> Αν και άπειρες σειρές εκμεταλλεύτηκαν για τον π κυρίως Ευρωπαίοι μαθηματικοί, όπως ο [[James Gregory (μαθηματικός)|James Gregory]] και [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], η προσέγγιση πρώτα ανακαλύφθηκε στην [[Ινδία]] κάποια στιγμή μεταξύ 1400 και 1500 AD.<ref>{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> Η πρώτη γραπτή περιγραφή μιας άπειρης σειράς που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του π τέθηκε σε σανσκριτικό στίχο από τον Ινδό αστρονόμο [[Nilakantha Somayaji]] στο ''[[Tantrasamgraha]]'', γύρω στο 1500 μ.Χ.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Οι σειρές παρουσιάζονται χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις παρουσιάζονται σε μεταγενέστερο ινδικό μυθιστόρημα, [[Yuktibhāṣā]], από το 1530μ.Χ. περίπου.Ο Nilakantha αποδίδει τη σειρά σε έναν προηγούμενο μαθηματικό Ινδό,τον [[Madhava της Sangamagrama]], που έζησε το &nbsp;1350&nbsp;– &nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> Πολλές σειρές που περιγράφονται, συμπεριλαμβανομένων τη σειρά για το ημίτονο, εφαπτομένη, και συνημίτονο, που τώρα αναφέρονται ως [[σειρά|Madhava σειρά]] ή [[σειρά|Gregory–Leibniz σειρά]].<ref name="Roypp" /> Ο Madhava χρησιμοποίησε άπειρη σειρά για να εκτιμήσει τον π στα 11 δεκαδικά περίπου το 1400, αλλά αυτή την εγγραφή νίκησε γύρω στο 1430 ο Πέρσης μαθηματικός [[Jamshīd al-Kāshī]], χρησιμοποιώντας έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>

Η πρώτη άπειρη ακολουθία που ανακάλυψαν στην Ευρώπη ήταν ένα [[Άπειρο|άπειρο προϊόν]] (και όχι τόσο ένα [[Άπειρο|άπειρο ποσό]], το οποίο χρησιμοποιείται πιο τυπικά στους υπολογισμούς του π) βρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό [[François VièteFrançois Viète]] το 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>

 

 

===Εποχή υπολογιστών και επαναληπτικοί αλγόριθμοι===

{{quote box|fontsize=90%|qalign=left|quote=

Ο [[αλγόριθμος Gauss–Legendre|επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss–Legendre ]]:<br />Προετοιμασία

}}

 

 

 

Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι δημοσιεύθηκαν ανεξάρτητα το 1975–1976 από τον Αμερικάνο φυσικό [[Eugene Salamin (μαθηματικός)|Eugene Salamin]] και Αυστραλιανό επιστήμονα [[Richard Brent (επιστήμονας)|Richard Brent]].<ref name="Arndt_j">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=87}}</ref> Αυτοί απέφευγαν την εξάρτηση από τις άπειρες σειρές. Ένας επαναληπτικός αλγόριθμος επαναλαμβάνει έναν ειδικό υπολογσμό,κάθε επανάληψη με εισροές,τις εκροές από προηγούμενα βήματα, και παράγει ένα αποτέλεσμα με κάθε βήμα που συγκλίνει στην επιθυμητή τιμή. Η προσέγγιση ανακαλύφθηκε στην πραγματικότητα πάνω από 160 χρόνια νωρίτερα από τον [[Carl Friedrich Gauss]], σε αυτό που αποκαλείται τώρα [[AGM method|αριθμητική-γεωμετρική σημασιακή μέθοδος]] (AGM μέθοδος) ή [[αλγόριθμος Gauss–Legendre]].<ref name="Arndt_j" /> Καθώς τροποποιήθηκε από τους Salamin και Brent, αυτό επίσης αναφέρεται και ως αλγόριθμος Brent-Salamin.

 

===Κίνητρα για υπολογισμό του π===

Για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που αφορούν τον π, μια χούφτα των ψηφίων του παρέχουν επαρκή ακρίβεια. Σύμφωνα με τους Jörg Arndt και Christoph Haenel, τριάντα εννέα ψηφία είναι επαρκή να εκτελέσουν τους περισσότερους [[Κοσμολογία|κοσμολογικούς]] υπολογισμούς,

γιατί αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό του όγκου του γνωστού σύμπαντος με ακρίβεια ενός ατόμου.<ref name="Arndt_b">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}. <!--quote from p. 17:-->"39 digits of π are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom."<br /> Accounting for additional digits needed to compensate for computational [[round-off error]]s, Arndt concludes that a few hundred digits would suffice for any scientific application.</ref> Παρά το γεγονός αυτό, οι άνθρωποι έχουν εργαστεί έντονα για τον υπολογισμό του π σε χιλιάδες και χιλιάδες ψηφία.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}}</ref> Αυτή η προσπάθεια μπορεί να αποδωθεί εν μέρει με τον ανθρώπινο εξαναγκασμό να σπάσει ρεκορ, και τέτοια επιτεύγματα με τον π συχνά κάνουν πρωτοσέλιδα σε όλο τον κόσμο.<ref name="msnbc.msn.com">{{cite news|title=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi|first=Matt|last=Schudel|newspaper=The Washington Post|date=25 March 2009|page=B5}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{cite news|title=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?|url=http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|newspaper=The Independent|date=8 January 2010|accessdate=14 April 2012}}</ref> Έχουν επίσης πρακτικά οφέλη, όπως σε δοκιμές [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]], δοκιμή αριθμητικής ανάλυσης αλγορίθμων (συμπεριλαμβανομένων [[Αλγόριθμος|της υψηλής ακρίβειας υπολογισμού του πολλαπλασιασμού αλγορίθμων]]); και εντός των καθαρών μαθηματικών, παρέχουν στοιχεία για την αξιολόγηση της τυχαιότητας των ψηφίων του π.<ref name="Arndt_c">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=18}}</ref>

 

===Γρήγορα συγκλίνουσες σειρές===

Οι σύγχρονες αριθμομηχανές π δεν χρησιμοποιούν αποκλειστικά τους επαναληπτικούς αλγόριθμους. Νέες άπειρες σειρές ανακαλύφθηκαν στη δεκαετία του 1980 και 1990 που είναι τόσο γρήγορες όσο οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι, όμως είναι απλούστερες και απαιτούν λιγότερη εντατική μνήμη.<ref name="Background" /> Οι γρήγοροι επαναληπτκοί αλγόριθμοι αναμενόταν να συμβούμ το 1914, όταν ο Ινδός μαθηματικός [[Srinivasa Ramanujan]] δημοσίευσε δεκάδες καινοτόμες μορφές εφαρμογών του π, αξιοπρόσεκτα για την κομψότητά τους, το μαθηματικό βάθος, και την ταχεία σύγκλιση.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=103–104}}</ref> Ένας από τους τύπους, που βασίζεται σε [[Εξίσωση|σπονδυλωτές εξισώσεις]] είναι:

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>

 

Ανάμεσα στο 1998 και 2000, τα [[Υπολογιστής|κατανεμημένα υπολογιστικά]] έργα [[PiHex]] χρησιμοποιούν τον [[τύπο Bellard]] (μια τροποποίηση του αλγορίθμου BBP) για τον υπολογισμό του πρώτου τετράκις εκατομμυριοστού (10¹⁵ο) δυαδικού ψηφίου του π, το οποίο αποδείχτηκε ότι ήταν 0.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=20}}<br />Bellards formula in: {{cite web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n^th binary digit of pi|first=Fabrice|last=Bellard|authorlink=Fabrice Bellard|accessdate=27 October 2007 |archiveurl = http://web.archive.org/web/20070912084453/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html <!-- Bot retrieved archive --> |archivedate =12 September 2007}}</ref> Το Σεπτέμβριο του 2010, ένας υπάλληλος του [[Yahoo!]] χρησιμοποίησε τις συστοιχίες της εταιρείας [[Apache Hadoop|Hadoop]] σε χίλιους υπολογιστές για διάστημα πάνω από 23 μέρες για τον υπολογισμό 256 [[Δυαδικό ψηφίο|δυαδικών ψηφίων]] του π με το δεύτερο τετράκις εκατομμυριοστό (2×10¹⁵ο) δυαδικό ψηφίο, το οποίο επίσης συμβαίνει να είναι μηδέν.<ref>{{cite news|title= Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit|author=Palmer, Jason|newspaper=BBC News|date=16 September 2010|url=http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194|accessdate=26 March 2011}}</ref>

 

== Δείτε επίσης ==

* [[Ευκλείδεια Γεωμετρία]]

 

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==

{{commonscat}}

 

{{Αριθμοί}}

{{ενσωμάτωση κειμένου|en|Pi}}