Θεώρημα του Πτολεμαίου: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Ετικέτα: IP σχολείου |
Ετικέτα: IP σχολείου |
||
Γραμμή 24:
===Σε ορθογώνιο===
Ας είναι a, b οι πλευρές του ορθογωνίου και d η διαγώνιος ενός ορθογωνίου. Επειδή τα ορθογώνια είναι εγγράψιμα σε κύκλο, από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχω ότι d<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>, που είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.▼
[[Image:Ptolemy Rectangle.svg|right|thumb|Υπολογισμός της διαγωνίου d ενός ορθογωνίου από τις πλευρές του]]
▲
Παρατήρηση: το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί από το θεώρημα του Πτολεμαίου.
Ειδικότερα, αν σε τετράγωνο εφαρμόσω το θεώρημα του Πτολεμαίου, έχω ότι: d<sup>2</sup> = 2a<sup>2</sup> ή d = <math>a\sqrt{2}</math>.
===Σε κανονικό πεντάγωνο===
[[Image:Ptolemy Pentagon.svg|right|thumb|Υπολογισμός της διαγωνίου b κανονικού πενταγώνου από την πλευρά του a]]
Ας είναι a η πλευρά του κανονικού πενταγώνου και b η διαγώνιός του. Το ABCD είναι εγγράψιμο, άρα από το θεώρημα του Πτολεμαίου b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+ab ή (b/a)<sup>2</sup> = 1+b/a ή <math>b/a = {{1+\sqrt{5}}\over 2}</math> = φ, ο χρυσός λόγος.
===Σε κανονικό δεκάγωνο===
[[Image:Ptolemy Pentagon2.svg|right|thumb|Υπολογισμός της διαγωνίου b κανονικού δεκαγώνου από την πλευρά του c]]
Αν είναι a και b όπως πριν, c η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου και AF=d η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε το ADFC είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχω ότι ad = bc+bc ή d = 2(b/a)c ή d = 2φc ή <math> c=\frac{d}{2\varphi}</math>, έτσι υπολογίζω την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου από τη διάμετρο του περιγεγραμμένο κύκλου του.
==Η ανισότητα του Πτολεμαίου==
| |||