Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

→‎Το πρόβλημα: Διορθώθηκε τυπογραφικό λάθος
 
== Το πρόβλημα ==
Στη γενική μορφή του απολλώνιου προβλήματος ζητείται η κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων οι οποίοι να εφάπτονται σε τρία δεδομένα αντικείμενα στο επίπεδο, όπου το αντικείμενο μπορεί να είναι ευθεία, σημείο ή κύκλος οιασδήποτεοποιασδήποτε ακτίνας.<ref name="Dörrie 1965">{{cite book| author = Dörrie H| year = 1965| chapter = The Tangency Problem of Apollonius| title = 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions| publisher = Dover| location = New York| pages = 154–160 (§32)}}</ref><ref name="coxeter_1968"/><ref name="coolidge"/><ref name="coxeter greitzer"/> Αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι διατεταγμένα καθ' οιονδήποτεοποιονδήποτε τρόπο και μπορούν και να αλληλοτέμνονται, όμως, συνήθως λαμβάνονται ώστε να είναι διακριτά, να μην συμπίπτουν δηλαδή. Μερικές φορές οι λύσεις του προβλήματος καλούνται ''Απολλώνιοι κύκλοι'', αν και ο όρος χρησιμοποιείται και για [[Απολλώνιοι κύκλοι|άλλου είδους κύκλους]], επίσης σχετιζόμενους με τον Απολλώνιο.
 
Η ιδιότητα της επαφής ορίζεται ως εξής. Αρχικά ένα σημείο, ευθεία ή κύκλος θεωρείται ότι εφάπτεται στον εαυτό του, έτσι αν δοθεί ένα κύκλος που είναι ήδη εφαπτόμενος σε άλλους δύο δεδομένους, η διάταξη λογίζεται ως λύση στο απολλώνιο πρόβλημα. Δύο διακριτά γεωμετρικά αντικείμενα θεωρείται ότι ''τέμνονται'' αν έχουν ένα κοινό σημείο. Εξ ορισμού ένα σημείο εφάπτεται σε ένα κύκλο ή μία ευθεία αν τα τέμνει, δηλαδή να βρίσκεται επί αυτών. Έτσι δύο διακριτά σημεία δεν μπορούν να είναι μεταξύ τους εφαπτόμενα. Αν η γωνία μεταξύ ευθειών ή κύκλων σε ένα σημείο τομής είναι μηδενική, τότε ορίζεται ότι αυτά εφάπτονται, το σημείο τομής ονομάζεται ''σημείο επαφής''. Στην πράξη δύο διακριτοί κύκλοι είναι εφαπτόμενοι αν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, αν τέμνονται σε δύο ή κανένα σημεία τότε δεν εφάπτονται. Το ίδιο ισχύει και για ένα ζεύγος ευθείας και κύκλου. Δύο διακριτές ευθείες δεν μπορούν να εφάπτονται στο επίπεδο, εντούτοις δύο [[παράλληλες ευθείες]] μπορεί να θεωρηθεί ότι εφάπτονται σε ένα [[σημείο στο άπειρο]] στην [[Γεωμετρία της αντιστροφής]].<ref>{{cite book|author=Coxeter, HSM|title="Introduction to Geometry"|isbn=978-0471504580|publisher=Wiley|location=New York|year=1969|edition=2nd}}</ref><ref>{{cite book|author=Needham, T|title="Visual Complex Analysis"|isbn=978-0-19-853446-4|publisher=Oxford University Press|location=New York|year=2007|pages = 140–141}}</ref>
Ανώνυμος χρήστης