Βικιπαίδεια

Θεωρία κατηγοριών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Αλλαγές στην μετάφραση από το Αγγλικό λήμα για να βγαίνει νόημα. Επεξεργασία του ορισμού που ήταν τελείως λάθος, δεν έχει ολοκληρωθεί.
Δόθηκε ορισμός για το τι είναι μια κατηγορία. Διορθώθηκαν οι αναφορές στο φύλο του Mac Lane, ήταν άντρας και όχι γυναίκα όπως νόμιζαν οι προηγούμενοι συγγραφείς.
Γραμμή 9:
Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν ως κατηγορίες. Η θεωρία κατηγοριών είναι μια αφηρημένη μαθηματική θεωρία που όμως συχνά επιτρέπει σε πολλά περίπλοκα και λεπτά μαθηματικά αποτελέσματα, σε διάφορους τομείς των μαθηματικών, να δηλωθούν (περιγραφούν), και να αποδειχθούν, με έναν πολύ απλούστερο τρόπο απ'ό,τι χωρίς τη χρήση της.
 
Το πιο προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία [[σύνολο|συνόλων]], συμβολίζεται με '''Set''', όπου τα αντικείμενα της είναι σύνολα και τα βέλη είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν είναι υποχρεωτικό να είναι πάντα σύνολα ούτε τα βέλη (οι μορφισμοί) πάντα συναρτήσεις. Οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας που ικανοποιεί τους βασικούς κανόνες (αξιώματα) της θεωρίας κατηγοριών, για τη συμπεριφορά των αντικειμένων και των βέληβελών είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της θεωρίας κατηγοριών θα ισχύουν για αυτήν.
 
Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα μιας κατηγορίας είναι αυτό του ''groupoid'', που ορίζεται ως μια κατηγορία τα της οποίας τα βέλη, ή οι μορφισμοί όπως αλλιώς λέγονται, είναι όλα αντιστρέψιμα. Η έννοια ''groupoid'' είναι σημαντική στην τοπολογία. Οι κατηγορίες εμφανίζονται τώρα στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών,σε μερικούς τομείς της θεωρητικής πληροφορικής όπου αντιστοιχούν τους τύπους, και της μαθηματικής φυσικής όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τα διανυσματικά διαστήματα. Οι κατηγορίες εισήχθησαν αρχικά από το Samuel Eilenberg και τηντον Saunders Mac Lane το 1942-45, σχετικάγια μετις τηνανάγκες αλγεβρικήτης τοπολογίααλγεβρικής τοπολογίας.
 
Η θεωρία κατηγοριών είναι γνωστή σε διάφορα πρόσωπα όχι μόνο στους ειδικούς, αλλά και σε άλλους μαθηματικούς. Ένας όρος που χρονολογείται από τη δεκαετία του '40, «γενικές αφηρημένες αηδίες», αναφέρεται στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσής, έναντι των περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών. Η ομόλογη [[άλγεβρα]] είναι θεωρία κατηγορίας στην πτυχή της οργάνωσης και υποβολής προτάσεων των χειρισμών στην αφηρημένη άλγεβρα.
Γραμμή 40:
== Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί ==
 
=== Κατηγορίες - Ένας ορισμός. ===
 
Μια '''κατηγορία''' '''C''' αποτελείται από τις ακόλουθες τρεις μαθηματικές οντότητες:
 
Μια '''κλάση''' -δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων, όχι απαραίτητα μια μικρή κλάση δηλαδή ένα σύνολο, αλλά ακόμα και μια μεγάλη κλάση όπως η κλάση όλων των συνόλων είναι δεκτή- '''ObObj(C)''', της οποίας τα στοιχεία καλούνται '''αντικείμενα'''.
 
Μια '''κλάση Arw(C)''', ή '''Ηom(C)''', τα στοιχεία της οποίας καλούνται βέλη ή μορφισμοί. Κάθε μορφισμός '''f''' σχετίζεται με δύο, όχι απαραίτητα διαφορετικά, αντικείμενα. Το ένα, ας το συμβολίσουμε '''Α''', ονομάζεται πηγή του βέλους και το άλλο, ας το συμβολίσουμε '''Β''', ονομάζεται στόχος. Η έκφραση '''f : A → B''', θα δηλωνόταν προφορικά ως «ο f είναι ένας μορφισμός από το A στο B», ή "είναι ένα βέλος με πηγή το Α και στόχο το Β". Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν και εκφράσεις από τις συναρτήσεις, όπως πεδίο (ορισμού) για το '''Α''' και συνπεδίο για το '''Β'''. Επίσης το '''Α''' μπορεί να συμβολισθεί και ως '''src(f)''', ή '''dom(f)''', και το '''Β''' ως '''tar(f)'''. Η έκφραση '''hom(Α, Β)''' - εκφράζεται εναλλακτικά ως '''hom<sub>C</sub>(Α, Β)''', '''mor(Α, Β)''', ή '''C(Α, Β)'''- συμβολίζει την '''κλάση''' όλων των μορφισμών από το '''Α''' στο '''Β'''.
 
Μια (μερικώς ορισμένη) '''πράξη''', που συμβολίζεται με '''∘''', ανάμεσα στα βέλη και ονομάζεται '''"σύνθεση"'''. Δηλαδή ένας διμελής εσωτερικός νόμος ο οποίος όμως δεν ορίζεται για όλα τα βέλη f και g. Ειδικότερα το '''g ° f ορίζεται μόνο αν tar(f) = src(g)''' και είναι ένα βέλος με πηγή την πηγή του '''f''' και στόχο τον στόχο του '''g'''. Γράφεται πιο απλά και ως gf και μερικές φορές ονομάζεται και πολλαπλασιασμός των μορφισμών.
Μια δυαδική λειτουργία ∘, καλείται σύνθεση μορφισμών, έτσι ώστε για οποιαδήποτε τρία αντικείμενα α, β, και γ, έχουμε hom (β, γ) × hom (α, β) → hom (α, γ). Η σύνθεση του φ: α → β και g: β → γ γράφεται ως g ∘ φ ή gf, [3] κυβερνημένος από δύο αξιώματα:
 
προσεταιριστικότητα:Εάν φ: α → β, g: β → γ και h: γ → δ τότε h ∘ (g ∘ φ) = (h ∘ g) ∘ φ, και
Για τα παραπάνω θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες(αξιώματα):
Ταυτότητα: Για κάθε αντικείμενο Χ, υπάρχει ένας μορφισμός 1x: Χ → Χ καλείται μορφισμός ταυτότητας για το Χ, έτσι ώστε για κάθε μορφισμό φ: α → β, έχουμε 1b ∘ φ = φ = φ ∘ 1a. Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός ταυτότητας για κάθε αντικείμενο. Μερικοί συγγραφείς παρεκκλίνουν από τον ορισμό που δίνεται ακριβώς με τον προσδιορισμό κάθε αντικειμένου με το μορφισμό ταυτότητάς του.
 
'''Α1.''' Κάθε βέλος έχει μοναδική πηγή και μοναδικό στόχο. Επομένως αν '''f : A → B''' και '''f : C → D''' τότε αναγκαστικά '''Α = C''' και '''B = D'''.
 
'''Α2.''' Αν '''f : A → B''' και '''g : B → C''' τότε ορίζεται η σύνθεση '''g°f : A → C'''.
 
'''A3.''' Η πράξη της σύνθεσης είναι '''προσεταιριστική'''. Πιο συγκεκριμένα για κάθε f ''': A → B''', '''g : B → C''' και '''h : C → D''' έχω: '''h°(g°f) = (h°g)°f''' και έτσι γράφω πιο απλά '''h°g°f'''.
 
'''Α4.''' Για κάθε '''αντικείμενο''' '''Α''' υπάρχει (μοναδικό) βέλος από το '''Α''' στο '''Α''', που το συμβολίζουμε με '''id(A)''' ή με '''1<sub>Α</sub>''' και ονομάζεται ταυτοτικό βέλος ή μοναδιαίο ή χαρακτηριστικό βέλος του '''Α''',με την εξής ιδιότητα: Για κάθε βέλος '''f : A → B''' και για κάθε βέλος '''g : C → A''', έχω:
 
'''f°1<sub>A</sub> = f''' και '''1<sub>A</sub>°g = g'''.
 
'''Παρατηρήσεις'''
 
Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας ταυτοτικός μορφισμός για κάθε αντικείμενο.
 
Πράγματι αν το αντικείμενο Α είχε δύο ταυτοτικά βέλη, ας τα συμβολίσουμε με η και ε, θα είχαμε ότι το η°ε ορίζεται αφού tar(ε) = src( η ) = Α. Ακόμα αφού το ε είναι ταυτοτικό θα έχω η°ε = η. Όμως και το η είναι ταυτοτικό άρα η°ε =ε. Αφού η σύνθεση είναι πράξη το αποτέλεσμα η°ε είναι μοναδικό. Επομένως η = ε.
 
Επειδή οι ταυτοτικοί μορφισμοί είναι μοναδικοί για κάθε αντικείμενο κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζουν τα ίδια τα αντικείμενα, μπορούμε να τα θεωρίσουμε σαν αντιπροσώπους - αντικαταστάτες των αντικειμένων, έτσι μερικοί συγγραφείς παρεκκλίνουν από τον ορισμό που δίνεται πιο πάνω καταργόντας τα αντικείμενα και ορίζοντας τις κατηγορίες μόνο με τους μορφισμούς και την σύνθεση τους και χρησιμοποιόντας στην θέση των αντικειμένων τους ταυτοτικούς μορφισμούς.
 
Η πράξη της σύνθεσης γενικά δεν είναι αντιμεταθετική, δηλαδή συνήθως f°g ≠ g°f, μάλιστα τις πιο πολλές φορές αν το g°f ορίζεται τότε το f°g δεν ορίζεται! Αλλά ακόμα και όταν ορίζονται και τα δύο συνήθως, όπως και στη σύνθεση των συναρτήσεων, τα αποτελέσματά τους είναι διαφορετικά.
 
=== Μορφισμοί ===
Γραμμή 137 ⟶ 157 :
== Ιστορία ==
 
Το 1942-45, ο Samuel Eilenberg και ηο Saunders Mac Lane εισήγαγαν τις κατηγορίες, τατους functorsσυναρτητές, και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως τμήμα της εργασίας τους στην τοπολογία, ειδικά στην αλγεβρική τοπολογία. Η εργασία τους ήταν ένα σημαντικό μέρος της μετάβασης από τη διαισθητική και γεωμετρική ομολογία στην αξιωματική θεωρία ομολογίας.Ο Eilenberg και ηο SaunderwSaunders Mac Lane αργότερα έγραψαν ότι ο στόχος τους ήταν να καταλάβουν τους φυσικούς μετασχηματισμούς προκειμένου να το κάνουν αυτό, ταοι functorsσυναρτητές έπρεπε να καθοριστούν, το οποίο απαιτούσε τις κατηγορίες.
 
Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο ''Eilenberg'' ήταν Πολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η θεωρία κατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (έναςμίας από τουςτις δασκάλουςδασκάλες τηςτου Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών. ηΗ Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και ηο Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που συντηρούν τις συντηρούν.
 
Η επόμενη ανάπτυξη της θεωρίας κατηγοριών τροφοδοτήθηκε πρώτα από τις υπολογιστικές ανάγκες της ομόλογης άλγεβρας, και αργότερα από τις αξιωματικές ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο τομέας ανθεκτικότερος να στηριχτεί είτε στην αξιωματική καθορισμένη θεωρία είτε την άποψη [[Μπέρτραντ Ράσελ|Ράσελ]]-Whitehead των ενωμένων θεμελίων. Η γενική θεωρία κατηγορίαςκατηγοριών, μια επέκταση του καθολικού που πολλά νέα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που επιτρέπουν τη σημασιολογικές ευελιξία και τη λογική υψηλός-διαταγής, ήρθε αργότερα εφαρμόζεται τώρα σε όλα τα μαθηματικά.
 
Ορισμένες κατηγορίες αποκαλούμενες topoiτόποι (singulartopoi, ενικός topos) μπορούν ακόμη και να χρησιμεύσουν ως μια εναλλακτική λύση στην αξιωματική θεωρία ομάδωνσυνόλων ως θεμέλιο των μαθηματικών. ΤαΟι toposτόποι μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συγκεκριμένος τύπος κατηγορίας με δύο πρόσθετα αξιώματα topos. Αυτές οι θεμελιώδεις εφαρμογές της θεωρίας κατηγορίας έχουν επιλυθεί με δίκαιες λεπτομέρειες σαν βάση και την αιτιολόγηση, τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Η θεωρία Topos είναι μια μορφή αφηρημένης sheaf θεωρίας, με γεωμετρική προέλευση, και οδηγεί σε ιδέες όπως η άσκοπη τοπολογία.
 
Η κατηγορική λογική είναι τώρα ένας καθορισμένος με σαφήνεια τομέας βασισμένος στη θεωρία τύπων για τις intuitionistic λογικές, με εφαρμογές στη λειτουργικό προγραμματισμό και στη θεωρία περιοχών, όπου μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία λαμβάνεται ως μη-συντακτική περιγραφή ενός υπολογισμού λάμδα. Στο ελάχιστο, η θεωρητική γλώσσα κατηγορίας διευκρινίζει τι ακριβώς αυτές οι σχετικές περιοχές έχουν κοινο (υπό κάποια αφηρημένη έννοια).
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Θεωρία_κατηγοριών"