|
Η '''Θεωρία Κατηγοριών''' είναι το πεδίο εκείνο των [[Μαθηματικά|μαθηματικών]] που εξετάζει τις γενικές ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά των διαφόρων μαθηματικών δομών μέσα από την μελέτη σχέσεων μεταξύ αντικειμένων αυτών των δομών.
Η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών χρησιμοποιείται για να τυποποιήσει τα μαθηματικά και τις έννοιές τους ως συλλογές αντικειμένων και βελών (ή μορφισμών).
Η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να τυποποιήσει τις έννοιες άλλων υψηλού επιπέδου αφαιρέσεων όπως σύνολα, δακτύλιους, και ομάδες. Διάφοροι όροι που χρησιμοποιούνται στη θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών, συμπεριλαμβανομένου του όρου «μορφισμός», συχνά χρησιμοποιούνται με διαφορετικό νόημα από ότι συνήθως στα μαθηματικά. Στη θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών, ένας «μορφισμός» υπακούει ένα σύνολο όρων συγκεκριμένων για την θεωρία την ίδια. Κατά συνέπεια, πρέπει να ληφθεί προσοχή για να γίνει κατανοητό το πλαίσιο στο οποίο γίνονται δηλώσεις.
== Μια αφαίρεση άλλων μαθηματικών εννοιών ==
Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν ως κατηγορίες. Η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών είναι μια αφηρημένη μαθηματική θεωρία που όμως συχνά επιτρέπει σε πολλά περίπλοκα και λεπτά μαθηματικά αποτελέσματα, σε διάφορους τομείς των μαθηματικών, να δηλωθούν (περιγραφούν), και να αποδειχθούν, με έναν πολύ απλούστερο τρόπο απ'ό,τι χωρίς τη χρήση της.
Το πιο προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία [[σύνολο|συνόλων]], συμβολίζεται με '''Set''', όπου τα αντικείμενα της είναι σύνολα και τα βέλη είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν είναι υποχρεωτικό να είναι πάντα σύνολα ούτε τα βέλη (οι μορφισμοί) πάντα συναρτήσεις. Οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας που ικανοποιεί τους βασικούς κανόνες (αξιώματα) της θεωρίαςΘεωρίας κατηγοριώνΚατηγοριών, για τη συμπεριφορά των αντικειμένων και των βελών είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της θεωρίαςΘεωρίας κατηγοριώνΚατηγοριών θα ισχύουν για αυτήν.
Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα μιας κατηγορίας είναι αυτό του ''groupoid'', που ορίζεται ως μια κατηγορία τα της οποίας τα βέλη, ή οι μορφισμοί όπως αλλιώς λέγονται, είναι όλα αντιστρέψιμα. Η έννοια ''groupoid'' είναι σημαντική στην τοπολογία. Οι κατηγορίες εμφανίζονται τώρα στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών,σε μερικούς τομείς της θεωρητικής πληροφορικής όπου αντιστοιχούν τους τύπους, και της μαθηματικής φυσικής όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τα διανυσματικά διαστήματα. Οι κατηγορίες εισήχθησαν αρχικά από το Samuel Eilenberg και τον Saunders Mac Lane το 1942-45, για τις ανάγκες της αλγεβρικήςΑλγεβρικής τοπολογίαςΤοπολογίας.
Η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών είναι γνωστή σε διάφορα πρόσωπα όχι μόνο στους ειδικούς, αλλά και σε άλλους μαθηματικούς. Ένας όρος που χρονολογείται από τη δεκαετία του '40, «γενικές αφηρημένες αηδίες», αναφέρεται στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσής, έναντι των περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών. Η ομόλογηΟμολογιακή [[άλγεβραΆλγεβρα]] είναι θεωρία κατηγορίας στην πτυχή της οργάνωσης και υποβολής προτάσεων των χειρισμών στην αφηρημένη άλγεβρα.
=== Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί ===
Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλληφθεί αξιωματικά τι βρίσκεται συνήθως στις διάφορες κατηγορίες σχετικών μαθηματικών δομών με το συσχετισμό τους στη δομή-συντηρώντας λειτουργίες μεταξύ τους. Μια συστηματική μελέτη της θεωρίαςΘεωρίας κατηγορίαςΚατηγοριών επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας.
Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.Η κατηγορία των ομάδων, '''Grp''', αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν μια «δομή ομάδας», αυτά είναι τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας. Κάποιος μπορεί να προχωρήσει να αποδείξει τα θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο αξιωμάτων.
Παραδείγματος χάριν, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό.
Αντί όμως να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα (π.χ., ομάδες) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς –δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή– μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της '''Grp'''.
Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει έπειτα ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας.Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων (''morphisms'') μεταξύ των τοπολογικών χώρων στην τοπολογία (η σχετική κατηγορία συμβολίζεται '''Top'''), και η μελέτη των λείων απεικονίσεων (morphisms) στις πολλαπλότητες (manifolds).
Στην πραγματικότητα,αυτό που έχουμε κάνει είναι να καθορίσουμε μια κατηγορία κατηγοριών και functors – τα αντικείμενα είναι κατηγορίες, και οι μορφισμοί (μεταξύ των κατηγοριών) είναι functors.
Με τη μελέτη των κατηγοριών και των functors, μελετάμε όχι μόνο μια κατηγορία μαθηματικών δομών και των μεταξύ τους μορφισμών μελετάμε τις σχέσεις μεταξύ των διάφορων κατηγοριών μαθηματικών δομών. Αυτό είναι μια θεμελιώδης ιδέα, η οποία εμφανίστηκε αρχικά στην αλγεβρικήΑλγεβρική τοπολογίαΤοπολογία. Οι δύσκολες τοπολογικές ερωτήσεις μπορούν να μεταφραστούν στασε algebraicquestionsαλγεβρικές ερωτήσεις που είναι συχνά ευκολότεραπιο ναεύκολο τιςνα λύσουναπαντηθούν. Οι βασικές κατασκευές, όπως η θεμελιώδης ομάδα ή το θεμελιώδες groupoid ενός τοπολογικού διαστήματοςχώρου, μπορούν να εκφραστούν ως θεμελιώδη functors στην κατηγορία groupoids κατά αυτόν τον τρόπο, και η έννοια είναι κυρίαρχη στην άλγεβρα και στις απαιτήσεις της.
=== Φυσικοί μετασχηματισμοί ===
'''f ° 1<sub>A</sub> = f''' και '''1<sub>A</sub> ° g = g'''.
'''<big>Παρατηρήσεις.</big>'''
Μερικοί συγγραφείς ειδικά της Θεωρητικής Πληροφορικής προτιμούν τον συμβολισμό '''f ; g''' αντί του '''g ° f'''.
Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας ταυτοτικός μορφισμός για κάθε αντικείμενο.
== Συναρτητές ==
ΤαΟι συναρτητές (''Functors)'' δομούν-συντηρούν τους χάρτες μεταξύ των κατηγοριών. Μπορούν να θεωρηθούν ως μορφισμοί στην κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών.
Ένας ''Functor'' Φ από μια κατηγορία Γ σε μια κατηγορία Δ, γράφεται Φ: Γ → Δ, περιλαμβάνει:
για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ, ένα αντικείμενο Φ (Χ) στο Δ και για κάθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, ένα μορφισμό Φ (φ): Φ (Χ) → Φ (Υ),
=== Καθολικές κατασκευές, όρια, και colimits ===
Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της θεωρίαςΘεωρίας κατηγοριώνΚατηγοριών, πολλοί τομείς της μαθηματικής μελέτης μπορούν να ταξινομηθούν. Οι κατηγορίες περιλαμβάνουν τα σύνολα, ομάδες, τοπολογίες, και ούτω καθεξής.
Κάθε κατηγορία διακρίνεται από τις ιδιότητες που όλα τα αντικείμενά του έχουν από κοινού, όπως το κενό σύνολο ή το προϊόνγινόμενο δύο τοπολογιών, όμως στον καθορισμό μιας κατηγορίας, τα αντικείμενα θεωρούνται ατομικά, δηλ., εμείς δεν ξέρουμε εάν ένα αντικείμενο Α είναι ένα σύνολο, μια τοπολογία, ή οποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια. Ως εκ τούτου, η πρόκληση είναι να καθοριστούν τα ειδικά αντικείμενα χωρίς αναφορά στην εσωτερική δομή εκείνων των αντικειμένων. Για να καθορίσει το κενό σύνολο χωρίς αναφορά στα στοιχεία, ή την τοπολογία προϊόντων χωρίς αναφορά στα ανοικτά σύνολα, κάποιο μπορεί να χαρακτηρίσει αυτά τα αντικείμενα από την άποψη των σχέσεών τους με άλλα αντικείμενα, όπως δίνονται από τoυς μορφισμούς των αντίστοιχων κατηγοριών. Κατά συνέπεια, ο στόχος είναι να βρεθούν οι καθολικές ιδιότητες που καθορίζουν μεμονωμένα τα αντικείμενα ενδιαφέροντος.
Πράγματι, καταλήγουμε ότι οι πολυάριθμες σημαντικές κατασκευές μπορούν να περιγραφούν με έναν καθαρώς κατηγορικό τρόπο. Η κεντρική έννοια που απαιτείται για το σκοπό αυτό καλείται κατηγορικό όριο, και μπορεί να είναι για να παραγάγει την έννοια ενός ''colimit''.
== Ιστορία ==
Το 1942-45, ο Samuel Eilenberg και ο Saunders Mac Lane εισήγαγαν τις κατηγορίες, τους συναρτητές, και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως τμήμα της εργασίας τους στην τοπολογία, ειδικά στην αλγεβρικήΑλγεβρική τοπολογίαΤοπολογία. Η εργασία τους ήταν ένα σημαντικό μέρος της μετάβασης από τη διαισθητική και γεωμετρική ομολογία στην αξιωματική θεωρία ομολογίας.Ο Eilenberg και ο Saunders Mac Lane αργότερα έγραψαν ότι ο στόχος τους ήταν να καταλάβουν τους φυσικούς μετασχηματισμούς προκειμένου να το κάνουν αυτό, οι συναρτητές έπρεπε να καθοριστούν, το οποίο απαιτούσε τις κατηγορίες.
Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο ''Eilenberg'' ήταν Πολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (μίας από τιςτους δασκάλεςδασκάλους του Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών. Η Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και ο Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που τις συντηρούν.
Η επόμενη ανάπτυξη της θεωρίαςΘεωρίας κατηγοριώνΚατηγοριών τροφοδοτήθηκε πρώτα από τις υπολογιστικές ανάγκες της ομόλογηςΟμολογιακής άλγεβραςΆλγεβρας, και αργότερα από τις αξιωματικές ανάγκες της αλγεβρικήςΑλγεβρικής γεωμετρίαςΓεωμετρίας, ο τομέας ανθεκτικότερος να στηριχτεί είτε στην αξιωματική καθορισμένη θεωρία είτε την άποψη [[Μπέρτραντ Ράσελ|Ράσελ]]-Whitehead των ενωμένων θεμελίων. Η γενική θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών, μια επέκταση του καθολικού που πολλά νέα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που επιτρέπουν τη σημασιολογικές ευελιξία και τη λογική υψηλός-διαταγής, ήρθε αργότερα εφαρμόζεται τώρα σε όλα τα μαθηματικά.
Ορισμένες κατηγορίες αποκαλούμενες τόποι (topoi, ενικός topos) μπορούν ακόμη και να χρησιμεύσουν ως μια εναλλακτική λύση στην αξιωματικήΑξιωματική θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων ως θεμέλιο των μαθηματικών. Οι τόποι μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συγκεκριμένος τύπος κατηγορίας με δύο πρόσθετα αξιώματα. Αυτές οι θεμελιώδεις εφαρμογές της θεωρίας κατηγορίας έχουν επιλυθεί με δίκαιες λεπτομέρειες σαν βάση και την αιτιολόγηση, τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Η θεωρίαΘεωρία Toposτων Τόπων είναι μια μορφή αφηρημένης sheafΘεωρίας θεωρίαςΔραγμάτων (sheafσ), με γεωμετρική προέλευση, και οδηγεί σε ιδέες όπως η άσκοπη τοπολογία.
Η κατηγορικήΚατηγορική λογικήΛογική είναι τώρα ένας καθορισμένος με σαφήνεια τομέας βασισμένος στη θεωρίαΘεωρία τύπωνΤύπων για τις intuitionistic λογικές, με εφαρμογές στη λειτουργικό προγραμματισμό και στη θεωρία περιοχών, όπου μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία λαμβάνεται ως μη-συντακτική περιγραφή ενός υπολογισμού λάμδα. Στο ελάχιστο, η θεωρητική γλώσσα κατηγορίας διευκρινίζει τι ακριβώς αυτές οι σχετικές περιοχές έχουν κοινο (υπό κάποια αφηρημένη έννοια).
Η θεωρίαΘεωρία κατηγοριώνΚατηγοριών έχει εφαρμοστεί και σε άλλους τομείς. Παραδείγματος χάριν, ο ''John Baez'' έχει παρουσιάσει μια σύνδεση μεταξύ των διαγραμμάτων Feynman στη φυσική και των monoidal κατηγοριών. Μια άλλη εφαρμογή της θεωρίαςΘεωρίας κατηγοριωνΚατηγοριων, πιο συγκεκριμένα: η θεωρίαΘεωρία toposΤόπων, έχει γίνει στη μαθηματική θεωρία μουσικής, βλέπε παραδείγματος χάριν στο βιβλίο The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, και Performance του Guerino Mazzola.
Πιο πρόσφατες προσπάθειες να εισάγουν προπτυχιακά σαν θεμέλιο των μαθηματικών εκαναν οι William Lawvere και Rosebrugh (2003) και Lawvere και Stephen Schanuel(1997)και Mirroslav Yotov (2012).
| 