Θεωρία κατηγοριών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Μικρές συμπληρώσεις στις "Παρατηρήσεις". |
Μια παρατήρηση πάνω στις κλάσεις, τα σύνολα και τις συλλογές. |
||
Γραμμή 44:
Μια '''κατηγορία''' '''C''' αποτελείται από τις ακόλουθες τρεις μαθηματικές οντότητες:
Μια '''κλάση''' -δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων- '''Obj(C)''' ή '''Ob(C)''', της οποίας τα στοιχεία καλούνται '''αντικείμενα'''. Η κλάση αυτή δεν είναι υποχρεωτικά σύνολο, ακόμα και μια
Μια '''κλάση Arw(C)''', ή '''Ηom(C)''', τα στοιχεία της οποίας καλούνται '''βέλη''' ή '''μορφισμοί'''. Κάθε μορφισμός '''f''' σχετίζεται με δύο, όχι απαραίτητα διαφορετικά, αντικείμενα. Το ένα, ας το συμβολίσουμε '''Α''', ονομάζεται '''πεδίο ορισμού''' ή αρχή ή αφετηρία του βέλους και το άλλο, ας το συμβολίσουμε '''Β''', ονομάζεται '''συνπεδίο ορισμού''' ή τέλος ή στόχος. Η έκφραση '''f : A → B''', θα δηλωνόταν προφορικά ως «ο f είναι ένας μορφισμός από το A στο B», ή "είναι ένα βέλος με αρχή το Α και τέλος το Β", ή ακόμα πιο απλά "f από το Α στο Β". Επίσης το '''Α''' μπορεί να συμβολισθεί και ως '''src(f)''', ή '''dom(f)''', και το '''Β''' ως '''tar(f)''' ή '''cod(f)'''. Η έκφραση '''hom(Α, Β)''' - εκφράζεται εναλλακτικά ως '''hom<sub>C</sub>(Α, Β)''', '''mor(Α, Β)''', ή '''C(Α, Β)'''- συμβολίζει την '''κλάση''' όλων των μορφισμών από το '''Α''' στο '''Β'''.
Γραμμή 65:
Μερικοί συγγραφείς ειδικά της Θεωρητικής Πληροφορικής προτιμούν τον συμβολισμό '''f ; g''' αντί του '''g ° f'''.
Στον ορισμό που δώσαμε αναφέραμε ότι οι Ob(C) και Arw(C) είναι κλάσεις, αυτό ακολουθούν οι πιο πολλοί συγγραφείς βιβλίων για κατηγορίες. Οι συγγραφείς αυτοί χρησιμοποιούν την λέξη "κλάση" με την αυστηρή μαθηματική έννοια, όπως απαιτεί μια Θεωρία Κλάσεων που είναι επέκταση του ZFC της Συνολοθεωρίας, π.χ. το σύστημα GB (Gödel - Bernays ). Κάποιοι όμως συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο "συλλογή" (collection) αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόμενο να μην είναι καν κλάσεις, πολύ περισσότερο δε σύνολα έτσι όπως βλέπει τα σύνολα η Αξιωματική Θεωρία Συνόλων.
Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας ταυτοτικός μορφισμός για κάθε αντικείμενο.
| |||