Θεωρία συνόλων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στα [[μαθηματικά]], '''θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων''' ή '''συνολοθεωρίαΣυνολοθεωρία''' είναι η [[θεωρία]] που μελετάει τα [[σύνολο|σύνολα]], σεκαι είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι). Ανη Θεωρία Συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και οποιοσδήποτετις τύποςμεταξύ απότους αντικείμενασχέσεις. μπορεί'''Άτυπα''' μπορούμε να ορίσειπούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η Θεωρία Συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμωλιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "'''ανήκειν'''" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με '''є'''. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων εφαρμόζεταιασχολείται συνήθως σεμε σύνολα που τα αντικείμενά αντικείμενατους σχετικάσχετίζονται με τα μαθηματικά.

Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίαςΘεωρίας συνόλωνΣυνόλων ξεκίνησε από τον [[Γκέοργκ Κάντορ]] (Georg Cantor) και τον [[Ρίχαρντ Ντέντεκιντ|Ντέντεκιντ]] (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Άρχικά η έννοια του συνόλου οριζόταν μέσω των '''κατηγορικών ιδιοτήτων.''' Κατηγορική είναι μια ιδιότητα για την οποία μπορούμε να απαντήσουμε, τουλάχιστον θεωρητικά, με ένα ναί ή με ένα όχι για το αν ένα αντικείμενο έχει (ικανοποιεί) αυτή την ιδιότητα. Έτσι για κάθε κατηγορική ιδιότητα Φ δέχονταν αξιωματικά ότι υπήρχε ένα σύνολο (δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων) του οποίου τα μέλη ήταν ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα για τα οποία η Φ ήταν αληθής (Αυτή η παραδοχή ονομάζεται '''Γενική Αρχή Συμπερίληψης'''). Αυτή η αρχική μορφή της Θεωρίας Συνόλων ονομάζεται Άτυπη (ή Διαισθητική) Θεωρία Συνόλων. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων (αντινομιών) στην άτυπηΆτυπη θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων, όπως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), έγινε φανερό ότι η Γενική Αρχή Συμπερίληψης είναι λάθος και ότι επομένως η έννοια του συνόλου έπρεπε να αποδοθεί πιο αυστηρά μέσα από ένα σύνολο αξιωμάτων. Μια πληθώρα συστημάτωναπό συστήματα αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία ηείναι αυτό των [[Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων|Ζερμέλο-Φράνκελ]] (Zermelo–Fraenkel set theory), μαζί με το [[αξίωμα επιλογής|Αξίωμα της Επιλογής]] , γνωστό και ως '''ZFC.''' Aν δεχθούμε όλα τα αξιώματα των Ζερμέλο-Φράνκελ, αλλά όχι το Αξίωμα της Επιλογής τότε λέμε ότι έχουμε (ακολουθούμε) το σύστημα '''ZF.'''

Η θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων, πουειδικά τυποποιείταιτο μεσύστημα χρήση της [[λογική πρώτου βαθμού|λογικής πρώτου βαθμού]]ZFC, είναι το πιο διαδεδομένο θεμελιώδες σύστημα για τατην μαθηματικάθεμελίωση των μαθηματικών. Η γλώσσα της θεωρίαςΘεωρίας συνόλωνΣυνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι [[συνάρτηση|συναρτήσεις]], και έννοιες της συνολοθεωρίαςΣυνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα μαθηματικώντων τμημάτων των Μαθηματικών στα πανεπιστήμια. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και για την ιδιότητα "μέλους συνόλου" μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, μαζί με την χρήση των [[διάγραμμα Venn|διαγράμματαδιαγράμματων Βεν]], για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η [[Ένωση συνόλων|ένωση]] και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η [[πληθάριθμος|πληθικότητα]] είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος μαθηματικώντων Μαθηματικών Σχολών.

Πέρα από τη χρήση της ως θεμελιώδεςθεμέλιο σύστηματων ίδιων των μαθηματικών, η θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων είναι ένας κλάδος των [[μαθηματικά|μαθηματικών]] από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, που φτάνουν από τη δομή της γραμμήςευθείας των [[πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] έωςως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους [[Πληθάριθμος|πληθάριθμους]].

Συνήθως οι μαθηματικές θεωρίες προκύπτουν και εξελίσσονται δια της αλληλεπιδράσεως μεταξύ των ερευνητών. Ωστόσο, η θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων αναπτύχθηκε από μία και μοναδική εργασία του [[Γκέοργκ Κάντορ]] (Georg Cantor) το 1874: "Σχετικά με την χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών".

Ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός [[Ζήνων ο Ελεάτης|Ζήνων]] από την μία αλλά και οι αρχαίοι Ινδοί μαθηματικοί από την άλλη, εργάστηκαν πάνω στην έννοια του απείρου. Αξιοσημείωτη είναι η δουλειά του Μπερνάρντ Μπολζάνο ([[:en:Bernard Bolzano|Bernard Bolzano]]) στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η μοντέρνα αντίληψη περί απείρου ξεκίνησε μεταξύ 1867-71, μεκαι προέκυψε μέσα από την θεωρίαδουλειά του Κάντορ και τηνπάνω θεωρίαστην τωνΠραγματική αριθμώνΑνάλυση. Μία συνάντηση των Κάντορ και [[Ρίχαρντ Ντέντεκιντ|Ντέντεκιντ]] (Richard Dedekind) το 1872 θα επηρεάσει ριζικά τον τρόπο σκέψης του Κάντορ καταλήγοντας στην σχετική εργασία του 1874.

Το έργο του αρχικά δίχασε του μαθηματικούς της εποχής. Παρ' όλο που οι Καρλ Βάιερστρας ([[:en:Karl Weierstrass|Karl Weierstrass]]) και Ντέντεκιντ (Dedekind) υποστήριξαν τον Κάντορ, ο Λέοπολντ Κρόνεκερ ([[:en:Leopold Kronecker|Leopold Kronecker]]), θεμελιωτήςο τηςοποίος μαθηματικήςτώρα θεωρείται ως ο θεμελιωτής του συγκροτημένηςμαθηματικού σκέψηςκονστρουκτιβισμού, δεν έπραξε το ίδιο. Η καντορικήΚαντοριανή θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων έγινε ευρέως γνωστή εξαιτίας της χρησιμότητας των εννοιών της, όπως της μία-προς-μίααμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας συνόλων, της απόδειξής του ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί απ'ότι ακέραιοι, και του "απείρου των απείρων" ("Ο παράδεισος του Κάντορ" - "[[:en:Cantor's paradise|Cantor's paradise]]") ως αποτέλεσμα τωντου πράξεωντελεστή μετου δυναμοσύνολαδυναμοσύνολου. Η χρησιμότητα της θεωρίας συνόλων οδήγησε στο άρθρο "Μένγκενλερε" ("Mengenlehre") του Άρτουρ Σουνφλις ([[:en:Arthur Moritz Schoenflies|Arthur Schoenflies]]) που δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπαίδεια του Klein το 1898.

Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki>που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη θεωρίαΘεωρία συνόλωνΣυνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von '''Neumann''', και πολλά συστήματα της αξιωματικήςΑξιωματικής θεωρίαςΘεωρίας συνόλωνΣυνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια [[σωρευτική ιεραρχία]], βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας [[τακτικός αριθμός]] α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το [[λιγότερο άνω άκρο]] όλων των [[διαδόχων]] της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki> συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο ''V''_α ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με ''V''.