Βικιπαίδεια

Παραμετρικές εξισώσεις: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Boehm (συζήτηση | συνεισφορές)
32 επεξεργασίες
typog, fix
Γραμμή 1:
[[Αρχείο:Butterfly_trans01.svg|δεξιά|μικρογραφία|300x300εσ|Η καμπύλη πεταλούδα  μπορεί να ορίζεται από παραμετρικές εξισώσεις των x και y.]]
Στα [[μαθηματικά]], οι '''παραμετρικές εξισώσεις''' ορίζουν μια ομάδα ποσοτήτων ως [[Συνάρτηση|συναρτήσεις]] μιας ή περισσότερων [[Ανεξάρτητη μεταβλητή|ανεξάρτητων μεταβλητών]] που ονομάζονται παράμετροι.<ref name="MathWorld">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html|title=Parametric Equations|last=Weisstein|first=Eric W.|website=[[MathWorld]]}}</ref> Οι παραμετρικές εξισώσεις  χρησιμοποιούνται συνήθως για να εκφράσουν τις [[Σύστημα αναφοράς|συντεταγμένες]] των σημείων που συνθέτουν ένα γεωμετρικό αντικείμενο, όπως μια [[καμπύλη]] ή επιφάνεια, σε κάθε περίπτωση οι εξισώσεις συλλογικά ονομάζονται '''παραμετρική αναπαράσταση''' ή '''παραμετροποίηση''' του αντικειμένου.<ref>{{Cite book|title=Calculus and Analytic Geometry|last=Thomas|first=George B.|last2=Finney|first2=Ross L.|publisher=[[Addison-Wesley]]|year=1979|edition=fifth|page=91}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Parameterization.html|title=Parameterization|last=Weisstein|first=Eric W.|website=[[MathWorld]]}}</ref> Για παράδειγμα, οι εξισώσεις
: <math>x=cos(t)▼
 
▲: <math>x = \cos(t)</math>
: <math>y = \sin(t)</math>▼
 
 
 
 
 
 
 
 
</math>
▲: <math>y=sin(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
</math>
έχουν τη μορφή μιας παραμετρικής αναπαράστασης και συγκεκριμένα ενός μοναδιαίου κύκλου, όπου ''t'' είναι η παράμετρος.
 
Γραμμή 43 ⟶ 25 :
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="1" class="wikitable sortable"
! scope="col" | Type
! scope="col" | Form
! scope="col" | Example
! scope="col" | Description
|-
| 1. Explicit
Γραμμή 58 ⟶ 40 :
|-
|''3. Parametric''
| style="white-space:nowrap" |<math>x = \frac{x(t)}{w(t)}</math>; <math>y = \frac{y(t)}{w(t)}</math>
|<math>x = a_0 + a_1t; \,\!</math> <math> y = b_0 + b_1t\,\!</math>
 
Γραμμή 66 ⟶ 48 :
Κύκλος
|}
Τα δύο πρώτα είδη είναι γνωστά ως αναλυτικά ή μη-παραμετρικά, αναπαραστάσεις καμπυλών, σε σύγκριση με παραμετρικές αναπαραστάσεις για χρήση σε εφαρμογές CAD, μη-παραμετρικές αναπαραστάσεις έχουν ελλείψεις. Ειδικότερα, η μη-παραμετρική αναπαράσταση εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων και δεν βοηθάει πολύ στους [[Γεωμετρικός μετασχηματισμός|γεωμετρικούς μετασχηματισμούς]], όπως για παράδειγμα στις περιστροφές, οι μη-παραμετρικές αναπαραστάσεις ως εκ τούτου, είναι πιο δύσκολο να δημιουργήσουν σημεία σε μια καμπύλη. Αυτά τα προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν με το γράψιμο πάλι της μη-παραμετρικής εξίσωσης σε παραμετρική μορφή.<ref>{{Cite book|title=Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications|last=Shah|first=Jami J.|last2=Martti Mantyla|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1995|isbn=0-471-00214-3|location=New York, NY|pages=29–31}}</ref>
 
=== Ακέραια γεωμετρία ===
Πολλά προβλήματα στην ακέραια γεωμετρία μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσεις. Μια κλασική τέτοια λύση είναι η [[Ευκλείδης|Ευκλείδια]] παραμετροποίηση [[Ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογώνιων τριγώνων]] , όπως ότι τα μήκη των πλευρών {{Math|''a'', ''b''}} και υποτείνουσα {{Math|''c''}} είναι [[Σχετικά πρώτοι|μεταξύ τους ή σχετικά πρώτοι]] . Καθώς οι ''a'' και ''b'' δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους (αλλιώς {{Math|''a'', ''b''}} και {{Math|''c''}} δεν θα είναι πρώτοι μεταξύ τους), μπορεί κανείς να μετασχηματίσει το {{Math|''a''}} και η παραμετροποίηση να είναι τότε
: <math /><math>a=2mn , b=m^2 - n^2 , c=m^2 + n^2 ,</math>
όπου {{Math|''m''}} και {{Mvar|''n''}} είναι θετικοί πρώτοι ακέραιοι που δεν είναι τόσο περίεργο.
 
Γραμμή 76 ⟶ 58 :
 
== Μετασχηματισμός ==
Μετατρέποντας μια σειρά από παραμετρικές εξισώσεις σε μια ενιαία εξίσωση συνεπάγεται η εξάλειψη της μεταβλητής <math>t</math> από τις ταυτόχρονες εξισώσεις <math>x=x(t) , y=y(t)</math> . Αυτή η διαδικασία ονομάζεται '''μετασχηματισμός'''. Αν μία από αυτές τις εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν ως προς την ''t'', τότε η έκφραση που προκύπτει μπορεί να υποκατασταθεί στην άλλη εξίσωση για να δημιουργηθεί μια εξίσωση που αφορά το ''x'' και ''y'' .
 
Αν η παραμετροποίηση δίνεται από τη [[ρητή συνάρτηση]]
: <math>x=p(t)/r(t) , y=q(t)/r(t) ,</math>
όπου {{Math|''p'', ''q'', ''r''}} είναι σύνολο [[Σχετικά πρώτοι|σχετικά πρώτων]] πολυωνύμων, με έναν συνιστάμενο υπολογισμό.
 
Γραμμή 87 ⟶ 69 :
 
Να πάρουμε για παράδειγμα τον κύκλο ακτίνας ''α'' [[Parametric equation#Examples|ανωτέρω]], οι παραμετρικές εξισώσεις
: <math>x =acost a\cos(t)</math>
: <math>y =asin a\sin(t)</math>
μπορεί να μετασχηματιστεί σε όρους των ''x'' και ''y'' με τη [[Πυθαγόρειa τριγωνομετρική ταυτότητα|Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα]]:
 
Όπως
: <math>x/a = \cos(t)</math>
: <math>y/a = \sin(t)</math>
και
: <math>\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1,</math>
έχουμε
: <math>(x/a)^2 + (y/a)^2 = 1,</math>
και έτσι
: <math>x^2 + y^2 = a^2,</math>
που είναι η τυπική εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων.
 
Γραμμή 114 ⟶ 96 :
: <math>y=f(x)</math>
μπορεί να παραμετροποιηθεί, χρησιμοποιώντας μια ελεύθερη παράμετρο ''t'', και
: <math /><math>x=t,y=f(t)</math> για <math>-\infty<t<\infty.</math>
 
=== Κύκλος ===
Γραμμή 120 ⟶ 102 :
: <math>x^2+y^2=1</math>
Η εξίσωση αυτή μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής:
: <math>(\cos(t),\sin(t))</math> για <math>0\leq t<2\pi</math>
Με την Καρτεσιανή εξίσωση είναι πιο εύκολο να ελέγξετε αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στον κύκλο ή όχι. Με την παραμετρική έκδοση είναι πιο εύκολο να ερευνήσει κανείς αν υπάρχουν σημεία σε ένα γράφημα.
 
Γραμμή 130 ⟶ 112 :
=== Έλλειψη ===
Μια [[έλλειψη]] στην κανονική της μορφή (κέντρο προέλευσης, με κύριο άξονα κατά μήκος του ''X''-άξονα) με ημι-άξονες ''a'' και ''b'' μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά ως
: <math>x=acosa\cos(t)</math>
: <math>y=bsinb\sin(t).</math>
Μια έλλειψη σε γενική μορφή μπορεί να εκφραστεί ως
: <math>x = X_c +acos a\cos(t)\cos(\varphi)-bsintb\sin(t)\sin(\varphi)</math>
: <math>y = Y_c +acos a\cos(t)\sin(\varphi)+bsintb\sin(t)\cos(\varphi)</math>
καθώς η παράμετρος ''t'' ποικίλλει από 0 μέχρι 2''d''. Εδώ το <math>(X_c,Y_c)</math> είναι το κέντρο της έλλειψης, και <math>\varphi</math> είναι η γωνία μεταξύ του <math>X</math>-άξονα και του μεγάλου άξονα της έλλειψης.
 
Και οι δύο μετασχηματισμοί μπορούν να γίνουν με τη [[ρητή συνάρτηση]] χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της μισής γωνίας και <math>\tan(t/2)=u</math>.
 
=== Lissajous Καμπύλη ===
Μία [[Lissajous καμπύλη]] είναι παρόμοια με μια έλλειψη, αλλά τα x και y των ημιτονοειδών δεν είναι σε φάση. Σε κανονική θέση, η Lissajous καμπύλη δίνεται από
: <math>x=acosa\cos(k_xt) </math>
: <math>y=bsinb\sin(k_yt) </math>
πού <math>k_x</math> και <math>k_y</math> είναι σταθερές που περιγράφουν τον αριθμό των λοβών στο σχήμα.
 
Γραμμή 148 ⟶ 130 :
Το άνοιγμα Ανατολής-δύσης μιας [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολής]] μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά από
 
<math>x=aseca\sec(t)+h</math>
 
<math>y=btanb\tan(t)+k</math>
: <math></math> ή, [[Ρητή συνάρτηση|λογικά]] <math></math>
: <math>x=a(1+t^2)/(1-t^2)+h</math>
: <math>y=2bt/(1-t^2)+k</math>
Το άνοιγμα Βορρά-νότου μιας υπερβολής μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά ως
: <math></math><math>x=btanb\tan(t)+h</math>
 
<math>y=aseca\sec(t)+k</math>
:: <math></math> ή, [[Ρητή συνάρτηση|λογικά]] <math></math>
:: <math>x=2bt/(1-t^2)+h</math>
:: <math>y=a(1+t^2)/(1-t^2)+k</math>
Γραμμή 168 ⟶ 150 :
File:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|Ένα hypotrochoid για το οποίο R = 5, r = 3, d = 5
</gallery>Οι παραμετρικές εξισώσεις για την hypotrochoids είναι:
: <math>x(\vartheta)=(R-r)\cos(\vartheta)+dcosd\cos((R-r)\vartheta)/r</math>
: <math>y(\vartheta)=(R-r)\sin(\vartheta)-dsind\sin((R-r)\vartheta)/r</math>
 
=== Ορισμένες εξελιγμένες συναρτήσεις ===
Άλλα παραδείγματα:
: <math>x=[a-b]\cos(t) +bcos b\cos[t(a/b-1)]</math>
: <math>y=[a-b]\sin(t) -bsin b\sin[t(a/b-1)], k=a/b</math>
: <math>x=\cos(at)-\cos(bt)^j</math>
: <math>y=\sin(ct)-\sin(dt)^k</math>
[[Αρχείο:Param_02.jpg|μικρογραφία|180x180εσ|Πολλές γραφικές παραστάσεις με την παραλλαγή του k]]
: <math /><gallery>
Γραμμή 184 ⟶ 166 :
File:Param34 2.jpg|j=3 k=4
File:Param34 3.jpg|j=3 k=4
</gallery><math>x=icosi\cos(at)-\cos(bt)\sin(ct)</math>
:<math>y=jsinj\sin(dt)-\sin(et)</math>
: <math /><gallery>
File:Param st 01.jpg|i=1 j=2
Γραμμή 195 ⟶ 177 :
[[Αρχείο:Parametric_Helix.png|δεξιά|μικρογραφία|300x300εσ|Παραμετρική helix]]
Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι κατάλληλες για την περιγραφή των [[Καμπύλη|καμπυλών]] στις μεγαλύτερων διαστάσεων χώρους. Για παράδειγμα:
: <math>x=acosa\cos(t)</math>
: <math>y=asina\sin(t)</math>
: <math>z=bt</math>
περιγράφει μια τρισδιάστατη καμπύλη, οι [[Έλικα|έλικες]], με ακτίνα ''α'' και αύξηση 2πb μονάδες ανά σειρά. Σημειώνεται ότι οι εξισώσεις είναι ίδιες στο [[επίπεδο]] με εκείνες για ένα κύκλο.
Εκφράσεις όπως το παραπάνω συνήθως γράφεται ως
: <math>r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(acosa\cos(t),asina\sin(t),bt),</math>
όπου '''r''' είναι ένα τρισδιάστατο διάνυσμα.
 
=== Παραμετρικές επιφάνειες ===
Ένας [[τόρος]] με μεγάλη ακτίνα ''R'' και μικρή ακτίνα ''r'' μπορεί να ορίζεται παραμετρικά ως
: <math>x=\cos(t)[R+rcosr\cos(u)],</math>
: <math>y=\sin(t)[R+rcosr\cos(u)],</math>
: <math>z=rsinr\sin(t)</math>
όπου οι δύο παράμετροι t και u διαφέρουν και οι δύο μεταξύ 0 και 2p.<gallery>
File:Torus.png|R=2, r=1/2
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Παραμετρικές_εξισώσεις"