Νιοστή ρίζα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
προσθ |
πρσθ |
||
Γραμμή 1:
{{πηγές|25|12|2012}}
Στα [[μαθηματικά]] η '''<math>\nu</math>-οστή ρίζα''' ενός πραγματικού αριθμού <math>\alpha</math>, όταν το <math>\nu</math> είναι [[φυσικός αριθμός]] <math>>1</math>, είναι ο [[πραγματικός αριθμός]] <math>\beta</math>, αν <math>\beta^\nu=\alpha</math>. Η <math>\nu</math>-οστή ρίζα του αριθμού <math>\alpha</math> συμβολίζεται με <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math>, το σύμβολο <math>\sqrt{\;\;\;\;}</math> λέγεται ''ριζικό'', το ''<math>\nu</math>'' ''δείκτης'' του ριζικού, ο αριθμός <math>\alpha</math> ''υπόρριζο'' και γράφεται <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta</math> εάν <math>\beta^\nu=\alpha</math>. Αν ο δείκτης ''<math>\nu</math>'' είναι [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί|άρτιος]], ή ρίζα λέγεται ''άρτια'' ή ''άρτιας τάξεως'' και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται ''περιττή'' ή ''περιττής τάξεως''.
Όταν <math>\nu=2</math>, η <math>\nu</math>-οστή ρίζα του <math>\alpha</math> συμβολίζεται <math>\sqrt{\alpha}</math> και διαβάζεται [[Τετραγωνική ρίζα|''τετραγωνική'' ή ''δευτέρα'' ρίζα]] του <math>\alpha</math>. Όταν <math>\nu=3</math> συμβολίζεται <math>\sqrt[3]{\alpha}</math> και διαβάζεται ''κυβική'' ή ''τρίτη'' ρίζα του <math>\alpha</math>.
H <math>\nu</math>-οστή ρίζα του αριθμού <math>a</math> θα είναι η [[Πραγματικός αριθμός|πραγματική]] θετική ρίζα του πολυωνύμου
Γραμμή 13:
Αντίστοιχα η <math>\nu</math>-οστή ρίζα συμβολίζεται <math>\sqrt[{\nu}]{a} \,</math> ή και <math>a^{1/{\nu}} \,</math>.
== Όροι των ριζών ==
Σε μία <math>\nu</math>-οστή ρίζα που γράφεται <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math>έχουμε:
* Τον πραγματικό αριθμό <math>\alpha</math>πού λέγεται ''υπόρριζο''.''<ref name=":2" />''
* Το σύμβολο <math>\sqrt{\;\;\;\;}</math>, που λέγεται ''ριζικό<ref name=":2" />'' (radical sign) και η οριζόντια γραμμή του πρέπει να καλύπτει πλήρως το υπόρριζο.
* Τον φυσικό αριθμό <math>\nu</math>, που λέγεται δείκτης του ριζικού<ref name=":0" /> ή βαθμός της ρίζας (degree).
* Αν ο δείκτης <math>\nu</math>είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται ''άρτια'' ή ''άρτιας τάξεως'' και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται ''περιττή'' ή ''περιττής τάξεως.''<ref name=":0">Τόγκας Πέτρος, σελ. 59</ref>
* Αν <math>\nu=2</math>συμβολίζεται <math>\sqrt{\alpha}</math> και διαβάζεται ''τετραγωνική'' ή ''δευτέρα'' ρίζα του <math>\alpha</math> (square root).<ref name=":2">Τόγκας Πέτρος, σελ. 58</ref> Συνηθίζεται να μην γράφεται ο δείκτης 2 του ριζικού (δηλ. <math>\sqrt[2]{\;}</math>).
* Αν <math>\nu=3</math>συμβολίζεται <math>\sqrt[3]{\alpha}</math> και διαβάζεται ''κυβική'' ή ''τρίτη'' ρίζα του <math>\alpha</math>(cube root).<ref name=":2" />
* Δύο ρίζες λέγονται ''ισοδύναμες'' ή ''ισοβάθμιοι'', όταν οι δείκτες του ριζικού τους ή αλλιώς οι βαθμοί τους είναι ίσοι. Για παράδειγμα οι ρίζες <math>\sqrt[\nu]{\alpha},\;\sqrt[\mu]{\beta},\;\sqrt[\rho]{\gamma}</math>λέγονται ισοδύναμες όταν <math>\nu=\mu=\rho</math>.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 173-174</ref>
== Ιδιότητες και ταυτότητες ==
Γραμμή 18 ⟶ 30 :
=== Γενικά ===
* Πάντα ισχύει <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha</math>, λόγο του ορισμού της <math>\nu</math>-οστής ρίζας.<ref name=":0" />
*<math>(\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\alpha</math>, διότι
*<math>\sqrt[\nu]{0}=0</math>, διότι <math>0^\nu=0</math> για κάθε φυσικό αριθμό <math>\nu</math>.<ref name=":1">Τόγκας Πέτρος, σελ. 61</ref>
*<math>\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}</math>, αν <math>\alpha</math> πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. <math>\alpha\in\R</math>και <math>\alpha\geq0</math>) και οι <math>\nu, \mu, \rho</math> φυσικοί αριθμοί (δηλ. <math>\nu, \mu, \rho\in\Z</math>).<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 173</ref>
=== Ρίζες άρτιας τάξης ===
| |||