Νιοστή ρίζα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
δρθ + πρσθ |
πρσθ |
||
Γραμμή 36:
*<math>\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}</math>, αν <math>\alpha</math> πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. <math>\alpha\in\R</math>και <math>\alpha\geq0</math>) και οι <math>\nu, \mu, \rho</math> φυσικοί αριθμοί (δηλ. <math>\nu, \mu, \rho\in\Z</math>).<ref name=":4">Τόγκας Πέτρος, σελ. 173</ref> Οι εφαρμογές της ιδιότητας αυτής είναι οι εξής:<ref name=":4" />
*#Απλοποίηση ριζών, παραδείγματα: <math>\sqrt[6]{\alpha^3}=\sqrt[2\cdot3]{\alpha^3}=\sqrt[]{\alpha}</math> και <math>\sqrt[6]{\alpha^6\cdot\beta^{2\cdot\lambda}}=</math><math>\sqrt[2\cdot3]{\alpha^{2\cdot3}\cdot\beta^{2\cdot\lambda}}=</math><math>\sqrt[2\cdot3]{(\alpha^{3}\cdot\beta^{\lambda})^2}=</math><math>\sqrt[2]{\alpha^{3}\cdot\beta^{\lambda}}</math>
*#Μετατροπή ριζών σε ισοδύναμους (ισόβαθμους), απαραίτητο όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ τους. Παράδειγμα: η ρίζα
* <math>\sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}=\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\cdot
\sqrt[\nu]{\gamma}</math> ή αλλιώς <math>
\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\cdot\sqrt[\nu]{\gamma}=
\sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}</math><ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 175. Υπάρχει απόδειξη.</ref>. Σε τέτοιες πράξεις χρειάζεται οι ρίζες να μετατρέπονται σε ισόβαθμους ή και να απλοποιούνται οπότε χρησιμοποιούμε την ιδιότητα <math>\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}</math>.
* <math>\frac{\sqrt[\nu]{\alpha}}{\sqrt[\nu]{\beta}}=
\sqrt[\nu]{\frac{\alpha}{\beta}}</math>μοιάζει και χρησιμοποιείται όπως η <math>
\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\cdot\sqrt[\nu]{\gamma}=
\sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}</math>.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 176-177. Υπάρχει απόδειξη.</ref>
* <math>(\sqrt[\mu]{\alpha})^\nu=\sqrt[\mu]{\alpha^\nu}</math>, δεν ισχύει πάντα (ή ισότητα δεν είναι πάντα ''πλήρης'') όταν <math>\alpha>0</math> και <math>\mu</math> και <math>\nu</math> άρτιοι. Παράδειγμα: δεν ισχύει πάντα η ισότητα <math>(\sqrt{4})^2=
\sqrt{4^2}</math>, διότι αν πάρουμε το πρώτο μέλος της έχουμε: <math>(\sqrt{4})^2=(\pm2)^2=4</math>, ενώ από το δεύτερο έχουμε:<math>\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=\pm4</math>. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε υπόψη μόνο τη θετική ρίζα.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 177-178</ref>
=== Ρίζες άρτιας τάξης ===
| |||