Συνέχεια συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο <math>\lim_{x \to x_0}f(x)</math> έχει έννοια μόνο όταν το <math>x_0</math> είναι [[σημείο συσσώρευσης]] της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το <math>x_0</math> δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι [[μεμονωμένο σημείο]] και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

 

Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο <math>x_0</math> του πεδίου ορισμού της Α [[αν και μόνο αν]] για κάθε ακολουθία <math>(x_n)_{n = 1}^{\infty}</math> στο Α, με:

:<math>\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x_0,</math>