Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

μ
καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ
[[Αρχείο:Squaring the circle.svg|μικρογραφία|Τετραγωνίζοντας τον κύκλο:Τα εμβαδά αυτού του τετραγώνου και του κύκλου είναι ίσα.Το 1882 αποδείχθηκε ότι αυτό το σχέδιο δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων με έναν "ιδανικό" [[Κανόνας (μαθηματικά)|χάρακα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].|183x183εσ]]Οι μαθηματικοί που ασχολούνταν με την γεωμετρία τον 18ο αιώνα δυσκολεύονταν αρκετά να καθορίσουν τα όρια του Ευκλείδειου συστήματος. Αρκετοί από αυτούς μάταια προσπαθούσαν να αποδείξουν το 5ο αξίωμα χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα 4 αξιώματα.Μέχρι το 1763 υπήρχαν τουλάχιστον 28 αποδείξεις οι οποίες είχαν δημοσιευτεί, όμως όλες ήταν λάθος.<ref>Hofstadter 1979 , σελίδα 91</ref>
 
Κατά την διάρκεια του 18ου αιώνα οι μαθηματικοί προσπάθησαν επίσης να καθορίσουν τι έργα μπορούσαν να επιτευχθούν στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα το πρόβλημα της [[τριχοτόμησης μιας γωνίας]] ,το οποίο αναφέρεται στην θεωρία, μιας και τα αξιώματα αναφέρονται σε τέτοιες δραστηριότητες οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν με χάρακα και διαβήτη(μέθοδος της λεγόμενης "Κινηματικής Γεωμετρίας"). Ωστόσο και ύστερα από αιώνες αποτυχημένων προσπαθειών για να βρεθεί μια λύση, το 1837 ο [[Πιέρ Βανζέλ]] έφερε στην δημοσιότητα την απόδειξη ότι μία τέτοια κατασκευή ήταν αδύνατο να γίνει. Άλλες επίσης κατασκευές που αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να υλοποιηθούν είναι ο [[διπλασιασμός του κύβου]], ο [[τετραγώνισμος του κύκλου|τετραγωνισμός του κύκλου]]. Στην περίπτωση του διπλασιασμού του κύβου αυτό που κάνει αδύνατη την κατασκευή του είναι ότι η μέθοδος της "Κινηματικής Γεωμετρίας" περιλαμβάνει εξισώσεις δεύτερης τάξης<ref>Theorem 120, Elements of Abstract Algebra, Allan Clark, Dover, ISBN 0-486-64725-0</ref> ,ενώ ο διπλασιασμός του κύβου απαιτεί την επίλυση εξισώσεως τρίτης τάξης.
 
Ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] συζήτησε μία γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας που ονομάζεται [[αφηρημένη γεωμετρία]] (αυτό που μένει από την Ευκλείδεια γεωμετρία όταν δεν χρησιμοποιούμε τις μετρικές έννοιες της απόστασης και της γωνίας), η οποία διατηρεί το 5ο αξίωμα μη τροποποιημένο ενώ αποδυναμώνει τα αξιώματα 3 και 4 με έναν τρόπο που καταργεί τις έννοιες της γωνίας(εξ ου και οι ορθές γωνίες χάνουν το νόημά τους) και της ισότητας του μήκους των τμημάτων της γραμμής γενικευμένα(εξ ου και οι κύκλοι χάνουν το νόημά τους) ,ενώ αντίθετα διατηρεί τις έννοιες του παραλληλισμού σαν σχέση ισοδυναμίας μεταξύ των γραμμών και την ισότητα του μήκους των παράλληλων τμημάτων γραμμής(έτσι ώστε τα τμήματα γραμμής να εξακολουθούν να έχουν μέσο).
 
=== Σύγχρονα πρότυπα της λιτότητας ===
Η τοποθέτηση της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε μια σταθερή αξιωματική βάση ήταν μια ενασχόληση των μαθηματικών για αιώνες.Ο ρόλος των θεμελιωδών εννοιών,ή αλλιώς των απροσδιόριστων εννοιών εξελίχθηκε ξεκάθαρα από τον  [[Alessandro Padoa|Αλεσάντρο Παντοα]] από την αντιπροσωπεία του Peano στην σύσκεψη του 1900 στο Παρίσι.<ref>Μια λεπτομερής συζήτηση μπορεί να βρεθεί στο James T. Smith (2000)."Chapter 2: Foundations". [https://books.google.com/books?id=mWpWplOVQ6MC&pg=RA1-PA19 ''Methods of geometry'']. Wiley. pp. 19 ''ff''.[[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-471-25183-6|0-471-25183-6]].</ref><ref>Société française de philosophie (1900). [https://books.google.com/books?id=4aoLAAAAIAAJ&pg=PA592 ''Revue de métaphysique et de morale, Volume 8'']. Hachette.σελ.592</ref><blockquote>...όταν ξεκινήσουμε να διατυπώνουμε τη θεωρία,μπορούμε να φανταστούμε ότι τα ακαθόριστα σύμβολα είναι εντελώς άνευ νοήματος και ότι οι προτάσεις χωρίς απόδειξη είναι απλά όροι που επιβάλλονται επί των ακαθόριστων συμβόλων.</blockquote><blockquote>Έπειτα το σύστημα των ιδεών που έχουμε αρχικά επιλέξει είναι απλά μια ερμηνεία των ακαθόριστων συμβόλων,αλλά αυτή η ερμηνεία μπορεί να αγνοηθεί από τον αναγνώστη,ο ποίος είναι ελεύθερος να την αντικαταστήσει στο μυαλό του με μια άλλη ερμηνεία...η οποία πληροί τις προϋποθέσεις...</blockquote><blockquote>Έτσι,τα λογικά ερωτήματα γίνονται εντελώς ανεξάρτητα από τα εμπειρικά ή τα ψυχολογικά ερωτήματα...</blockquote><blockquote>Το σύστημα των ακαθόριστων συμβόλων μπορεί τότε να θεωρηθεί ως η αφαίρεση που λαμβάνεται από τις εξειδικευμένες θεωρίες που προκύπτουν όταν...το σύστημα των απροσδιόριστων συμβόλων αντικαθίσταται διαδοχικά από κάθε μία από τις ερμηνείες...</blockquote><blockquote>— Padoa, ''Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive qulelconque''</blockquote>Δηλαδή τα μαθηματικά είναι ανεξάρτητη γνώση μέσα σε ένα ιεραρχικό πλαίσιο.Όπως είπε ο  [[Μπέρτραντ Ράσελ]].<ref>Bertrand Russell (2000). "Mathematics and the metaphysicians". In James Roy Newman. [https://books.google.com/books?id=_b2ShqRj8YMC&pg=PA1577 ''The world of mathematics''] '''3''' (Ανατύπωση από Simon και Schuster 1956 ed.). Courier Dover Publications. σελ 1577. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-486-41151-6|0-486-41151-6]].</ref><blockquote>Αν η υπόθεσή μας είναι για το οτιδήποτε, και όχι για ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα πράγματα,τότε τα συμπεράσματά μας αποτελούν μαθηματικά.'Ετσι Έτσι, τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δεδεν ξέρουμε ποτέ για τι πράγμα μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.</blockquote><blockquote>—Μπέρτραντ Ράσελ ,''Τα Μαθηματικά και οι μεταφυσικοί''</blockquote>Τέτοιες θεμελιώδεις προσεγγίσεις κυμαίνονται μεταξύ του θεμελιωτισμού και του [[Φορμαλισμός|φορμαλισμού]].
 
=== Αξιωματικές διατυπώσεις ===
524

επεξεργασίες