Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Βαρυτικό πεδίο»

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
μ (προστέθηκε η Κατηγορία:Θεωρίες βαρύτητας (με το HotCat))
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
''Ένταση'', '''g''', σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα [[μάζα]]ς m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα m του σώματος στο οποίο ασκείται η δύναμη του βαρυτικού πεδίου, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,
 
: <math> \boldmathbf{g}=-\frac{GM}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}}, </math>
 
όπου G≈6.67×10<sup>−11</sup> (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες [[Διεθνές σύστημα μονάδων|διεθνούς συστήματος]]. Βάσει του ορισμού, το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες [[επιτάχυνση]]ς (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, '''F''', που ασκείται σε σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την «πηγή» του βαρυτικού πεδίου ισούται με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,
 
: <math>\boldmathbf{F}=m\boldmathbf{g}=-G\frac{Mm}{r^2}\ \boldsymbol{\hat{r}} </math>
 
που ταυτίζεται με τη γνωστή [[νόμος της παγκόσμιας έλξης|δύναμη της βαρύτητας κατά Νεύτωνα]].
Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως ''Νευτώνειο Δυναμικό'') είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως ''μείον'' το [[Έργο (φυσική)|έργο]] ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μία θέση αναφοράς r<sub>0</sub> σε μία απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:
 
: <math> \Phi(r)=-\int_{\boldmathbf{r}_0}^{\boldmathbf{r}} \boldmathbf{g}\cdot d\boldmathbf{r} </math>
 
Στην περίπτωση της σημειακής πηγής, ο παραπάνω τύπος δίνει:
 
: <math> \Phi(r)=GM\int_{\boldmathbf{r_0}}^{\boldmathbf{r}} \frac{\boldsymbol{\hat{r}}'\cdot d\boldmathbf{r'}}{r'^2}=GM\int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{r'^2}=-GM \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) </math>
 
Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται με απροσδιοριστία μίας σταθεράς, που σχετίζεται με το γεγονός ότι το δυναμικό ορίζεται ως προς κάποιο αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς r<sub>0</sub>. Το πώς επιλέγεται το σημείο αυτό δεν έχει σημασία, καθώς φυσική σημασία έχει μόνο η ''διαφορά'' βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων στο χώρο.
Από μαθηματικής σκοπιάς, ένα αντικείμενο μπορεί να περιγραφτεί πλήρως αν γνωρίζουμε τη συνολική του μάζα (Μ), καθώς επίσης και την πυκνότητά (ρ) του σε κάθε σημείο του χώρου. Επιλέγοντας ένα [[σύστημα συντεταγμένων]] στο οποίο οι θέσεις της πηγής του δυναμικού περιγράφονται από ένα διάνυσμα θέσης '''r'''' και το σημείο στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το δυναμικό από ένα διάνυσμα θέσης '''r''', το δυναμικό δίνεται από τον γενικό τύπο:
 
: <math> \Phi(r)=-G\int \frac{\rho(\boldmathbf{r'})}{|\boldmathbf{r}-\boldmathbf{r'}|}d^3\boldmathbf{r'} </math>
 
Ο παραπάνω τύπος προκύπτει από την κατάτμηση της κατανομής μάζας σε μικρές, στοιχειώδης μάζες τις οποίες θεωρούμε σημειακές. Το δυναμικό υπολογίζεται στη συνέχεια για κάθε τέτοια στοιχειώδη μάζα και το συνολικό δυναμικό σε δεδομένο σημείο του χώρου προκύπτει αθροίζοντας (=[[ολοκλήρωμα|ολοκληρώνοντας]]) όλες τις στοιχειώδεις συνεισφορές δυναμικού.
Δρώντας δύο φορές τα δύο μέλη της εξίσωσης δυναμικού που συνεχούς κατανομής με τον τελεστή [[ανάδελτα]], αποδεικνύεται ότι:
 
: <math> \nabla^2\Phi=4\pi G \rho(\boldmathbf{r}) </math>
 
Η παραπάνω εξίσωση είναι μία ''[[εξίσωση Πουασόν]]'', η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Οι [[πεδιακές εξισώσεις του Αϊνστάιν]] αποτελούν γενίκευση της εξίσωσης αυτής.
Το βαρυτικό δυναμικό '''''δεν''''' ταυτίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η βαρυτική δύναμη από ένα σημείο αναφοράς σε μια απόσταση r από την αρχή των αξόνων. Αντίθετα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, '''V''', ορίζεται ως
 
: <math> V(r)=-\int_{\boldmathbf{r}_0}^{\boldmathbf{r}} \boldmathbf{F}\cdot d\boldmathbf{r} </math>
 
Επειδή όμως ισχύει ότι '''F'''=m'''g''', η σχέση που συνδέει το βαρυτικό δυναμικό με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι:
Ανάλογα με τον ηλεκτρομαγνητισμό, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον [[Νόμος του Γκάους|νόμο του Γκάους]] για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί μία δεδομένη κατανομή μάζας. Η εξίσωση στην οποία καταλήγει κανείς είναι η παρακάτω:
 
: <math> \oint_{S} \boldmathbf{g}\cdot d\boldmathbf{S}=-4\pi G M_{\textrm{enc}} </math>
 
Το σύμβολο M<sub>enc</sub> αναπαριστά τη συνολική μάζα που περικλύει η επιφάνεια Γκάους, S, που επιλέγεται κάθε φορά. Η χρήση της παραπάνω εξίσωσης για τον υπολογισμό της έντασης του βαρυτικού πεδίου ενδείκνυται μόνο όταν ένα πρόβλημα έχει επαρκή συμμετρία (π.χ. σφαιρική, κυλινδρική ή επίπεδη). Ειδάλλως, η χρήση εργαλείων όπως το βαρυτικό δυναμικό είναι προτιμότερη.
62

επεξεργασίες