Πολικό σύστημα συντεταγμένων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
(αφαίρεση συνδέσμων προς en wiki εντός του κειμένου)
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
=== Διανυσματικός λογισμός ===
 
Τα διανύσματα θέσης <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> και <math>\boldsymbol{\hat{\theta}}</math> στις πολικές συντεταγμένες σχετίζονται με τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα <math>\boldmathbf{\hat{x}}</math> και <math>\boldmathbf{\hat{y}}</math> των καρτεσιανών σύμφωνα με τις παρακάτω γενικές εξισώσεις μετατροπής συντεταγμένων:
 
: <math> \tilde{e}_{i}=\frac{\partial x_{j}}{\partial \tilde{x}_{i}}\ e_{j},\ \ \ i,j=1,2 </math>
όπου
 
: <math> (e_1,e_2)\equiv (\boldmathbf{\hat{x}},\boldmathbf{\hat{y}}), \ (\tilde{e}_1,\tilde{e}_2)\equiv (\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}}) </math>
 
: <math> (x_1,x_2)\equiv (x,y), \ (\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)\equiv (r,\theta) </math>
Η εφαρμογή των παραπάνω τύπων μας δίνουν τα παρακάτω αποτελέσματα:
 
: <math> \begin{align} \boldsymbol{\hat{r}} &= \cos{\theta}\ \boldmathbf{\hat{x}}+\sin{\theta}\ \boldmathbf{\hat{y}} \\ \boldsymbol{\hat{\theta}} &= -\sin{\theta}\ \boldmathbf{\hat{x}}+\cos{\theta}\ \boldmathbf{\hat{y}} \end{align} </math>
 
Είναι φανερό ότι τα διανύσματα <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> και <math>\boldsymbol{\hat{\theta}}</math> είναι ''ορθομοναδιαία'' (δηλαδή έχουν μέτρο μονάδα και είναι κάθετα μεταξύ τους). Επιπροσθέτως, τα διανύσματα αυτά δεν είναι σταθερά, δηλαδή η φορά τους μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο σε αντίθεση με τα μοναδιαία διανύσματα <math>\boldmathbf{\hat{x}}</math> και <math>\boldmathbf{\hat{y}}</math> των καρτεσιανών συντεταγμένων τα οποία είναι σταθερά παντού στο επίπεδο. Μία άμεση μαθηματική συνέπεια του γεγονότος αυτού είναι ότι
 
: <math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{r}}}{\partial\theta}=\boldsymbol{\hat{\theta}}, \ \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}}{\partial\theta}=-\boldsymbol{\hat{r}} </math>
Σε δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο [[Ανάδελτα|τελεστής ανάδελτα]] δίνεται από τον τύπο:
 
: <math> \boldsymbol{\nabla}(x,y)=\boldmathbf{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\boldmathbf{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y} </math>
 
Με αφετηρία τις εξισώσεις μετατροπής από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, αποδεικνύεται ότι ο παραπάνω τελεστής δίνεται σε πολικές συντεταγμένες από τον εξής τύπο:
Στη [[Φυσική]], η [[τροχιά]] ενός σώματος ως προς ένα επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να περιγραφτεί μαθηματικά από ένα διάνυσμα '''r''' που ονομάζεται ''ακτίνα θέσης'' ή ''επιβατική ακτίνα'' του σώματος. H ακτίνα θέσης, η [[ταχύτητα]] '''v''' και η [[επιτάχυνση]] '''a''' περιγράφονται από τα διανύσματα:
 
: <math> \begin{align} \boldmathbf{r} &= r\ \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldmathbf{v} &= \dot{r}\ \boldsymbol{\hat{r}}+r\dot{\theta}\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \\ \boldmathbf{a} &= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\boldsymbol{\hat{r}}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} \end{align} </math>
 
όπου η τελεία αναφέρεται σε [[Παράγωγος|παραγώγιση]] ως προς το χρόνο. Οι ακριβείς σχέσεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση αποδεικνύονται εύκολα παραγωγίζοντας την ακτίνα θέσης ως προς το [[Χρόνος|χρόνο]].
62

επεξεργασίες