Πολικό σύστημα συντεταγμένων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τα διανύσματα θέσης <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> και <math>\boldsymbol{\hat{\theta}}</math> στις πολικές συντεταγμένες σχετίζονται με τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα <math>\boldmathbf{\hat{x}}</math> και <math>\boldmathbf{\hat{y}}</math> των καρτεσιανών σύμφωνα με τις παρακάτω γενικές εξισώσεις μετατροπής συντεταγμένων:

: <math> (e_1,e_2)\equiv (\boldmathbf{\hat{x}},\boldmathbf{\hat{y}}), \ (\tilde{e}_1,\tilde{e}_2)\equiv (\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}}) </math>

: <math> \begin{align} \boldsymbol{\hat{r}} &= \cos{\theta}\ \boldmathbf{\hat{x}}+\sin{\theta}\ \boldmathbf{\hat{y}} \\ \boldsymbol{\hat{\theta}} &= -\sin{\theta}\ \boldmathbf{\hat{x}}+\cos{\theta}\ \boldmathbf{\hat{y}} \end{align} </math>

Είναι φανερό ότι τα διανύσματα <math>\boldsymbol{\hat{r}}</math> και <math>\boldsymbol{\hat{\theta}}</math> είναι ''ορθομοναδιαία'' (δηλαδή έχουν μέτρο μονάδα και είναι κάθετα μεταξύ τους). Επιπροσθέτως, τα διανύσματα αυτά δεν είναι σταθερά, δηλαδή η φορά τους μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο σε αντίθεση με τα μοναδιαία διανύσματα <math>\boldmathbf{\hat{x}}</math> και <math>\boldmathbf{\hat{y}}</math> των καρτεσιανών συντεταγμένων τα οποία είναι σταθερά παντού στο επίπεδο. Μία άμεση μαθηματική συνέπεια του γεγονότος αυτού είναι ότι

: <math> \boldsymbol{\nabla}(x,y)=\boldmathbf{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\boldmathbf{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y} </math>

: <math> \begin{align} \boldmathbf{r} &= r\ \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldmathbf{v} &= \dot{r}\ \boldsymbol{\hat{r}}+r\dot{\theta}\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \\ \boldmathbf{a} &= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\boldsymbol{\hat{r}}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} \end{align} </math>