Εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
 
Οι αντιστοιχίσεις των μεγεθών σε τελεστές στην αναπαράσταση θέσης είναι:
:<math>\hat{E}\to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math>
:<math>\hat{\boldmathbf{p}}\to -i\hbar\boldsymbol{\nabla}</math>
Επίσης στην σχετικιστική φυσική και την [[Σωματιδιακή φυσική|φυσική υψηλών ενεργειών]], είθισται να χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες φυσικές μονάδες στις οποίες:
:<math>c=\hbar=1</math>
:<math>j^\mu\equiv i(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^*)=i(\psi^*\partial^\mu\psi-\text{c.c.}),</math> (με c.c. συμβολίζεται το μιγαδικό συζυγές του πρώτου κομματιού εντός της παρένθεσης),
ως την τετραπυκνότητα πιθανότητας, δηλαδή:
:<math>j^\mu=(\rho,\boldmathbf{J}),</math> τότε θα ισχύει η εξίσωση συνέχειας:
:<math>\partial_\mu j^\mu=0.</math>
Αποδεικνύεται ότι όντως το j<sup>μ</sup> μετασχηματίζεται ως [[τετράνυσμα]], ενώ το i στο ορισμό του, που δεν αλλοιώνει βέβαια την εξίσωση, αφού το δεύτερο μέλος είναι μηδενικό, είναι απαραίτητο για να έχουμε πραγματική πυκνότητα πιθανότητας και ρεύμα, αφού αυτά αποτελούν μετρήσιμα μεγέθη. Αυτά γίνονται εύκολα αντιληπτά από τη μελέτη κυματοσυναρτήσεων ελευθέρων σωματιδίων.
Αναλύωντας τις συνιστώσες του j<sup>μ</sup> έχουμε:
:<math>j^0=\rho=2|N|^2E</math>
:<math>j^n,,n=1,2,3,\to\boldmathbf{J}=2|N|^2\boldmathbf{p}</math>
Βλέπουμε, δηλαδή, από την πρώτη συνιστώσα, ότι η πυκνότητα πιθανότητας είναι ανάλογη της ενέργειας. Συνήθως, για να μην έχουμε τέτοια εξάρτηση, κανονικοποιούμε σε 2E σωματίδια στον υπό μελέτη όγκο, άρα:
:<math>\int_V \rho d^3x=2E\Rightarrow 2|N|^2EV=2E\Rightarrow |N|=\frac{1}{\sqrt{V}},</math> πράγμα το οποίο δίνει:
 
Πιο συγκεκριμένα, θεωρήθηκαν σωμάτια με φορτίο -e, έστω τα ηλεκτρόνια και τα αντισωμάτιά τους. Θεωρήθηκε η τετραπυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος του σωματιδίου ίση με την τετραπυκνότητα πιθανότητας του σωματιδίου πολλαπλασιασμένη με το φορτίο του σωματιδίου, άρα το ρεύμα π.χ. του ηλεκτρονίου θα είναι:
:<math>j^\mu=-e2|N|^2p^\mu=-e2|N|^2(E,\boldmathbf{p})</math>
Αντίστοιχα για ποζιτρόνιο θα είναι:
:<math>j^\mu=e2|N|^2p^\mu=-e2|N|^2(E,\boldmathbf{p})=e2|N|^2(-E,-\boldmathbf{p})</math>
Στην τελευταία απλώς το - μετατοπίστηκε στην τετραορμή.
 
62

επεξεργασίες