Λογισμός των μεταβολών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
μ (συναρτησιακό)
Ετικέτες: Οπτική επεξεργασία Επεξεργασία από κινητό Διαδικτυακή επεξεργασία από κινητό
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
::: <math> \int_{x_1}^{x_2} \eta \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \, dx = 0 \, . </math>
Σύμφωνα με το [[θεμελειώδες λήμμα του λογισμού των μεταβολών]], ο όρος στην παρένθεση είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή
::: <div style="{{divstylewhite}}; width:15em; margin:.3em"><center><math> \frac{\partpartial L}{\partpartial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partpartial L}{\partpartial f'}=0 </math></center></div>
το οποίο λέγεται '''εξίσωση Euler–Lagrange.''' Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ονομάζεται [[συναρτησιακή παράγωγος|συναρτησιακή]] ή [[συναρτησιακή παράγωγος|μεταβολική παράγωγος]] της {{math|''J''[''f'']}} και συμβολίζεται με {{math|''δJ''/''δf''(''x'') .}}
 
: <math> y\,'(x) = \frac{dy}{dx} \, , \ \ y_1=f(x_1) \, , \ \ y_2=f(x_2) \, . </math>
Η εξίσωση των Euler–Lagrange θα χρησιμοποιηθεί τώρα για την εύρεση της ακρότατης συνάρτησης {{math|''f'' (''x'')}} η οποία ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό {{math|''A''[''y'' ] .}}
: <math> \frac{\partpartial L}{\partpartial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partpartial L}{\partpartial f'}=0 </math>
με
: <math>L = \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, . </math>
 
Εφόσον η {{math|''f''}} δεν εμφανίζεται αυτή καθ' αυτή στην {{math|''L'' ,}} ο πρώτος όρος της εξίσωσης Euler–Lagrange μηδενίζεται για όλα τα {{math|''f'' (''x'') }} και τότε έχουμε
: <math> \frac{d}{dx} \frac{\partpartial L}{\partpartial f'} = 0 \, . </math>
Αντικαθιστώντας το {{math|''L''}} και παίρνοντας τη μερική παράγωγο έχουμε,
: <math> \frac{d}{dx} \ \frac{ f'(x) } {\sqrt{1 + [ f'(x) ]^2}} \ = 0 \, . </math>
== Ταυτότητα Beltrami ==
Σε προβλήματα φυσικής αποδεικνύεται συχνά ότι {{math|∂''L'' / ∂''x'' {{=}} 0}}. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση Euler-Lagrange μπορεί να απλοποιηθεί στην [[ταυτότητα Μπελτράμι]]:<ref>{{Cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/|title = "Euler-Lagrange Differential Equation."|date = |accessdate = |website = MathWorld|publisher = |last = Weisstein|first = Eric W.}}</ref>
:<math>L-f'\frac{\partpartial L}{\partpartial f'}=C \, ,</math>
 
όπου {{math|''C''}} είναι μια σταθερά. Στο αριστερό μέρος της παραπάνω εξίσωσης φαίνεται ο [[Μετασχηματισμός Λεζάντρ|μετασχηματισμός Legendre]] της {{math|''L''}} ως προς την {{math|''f'' &prime; .}}
Mέχρι στιγμής έχει υποτεθεί ότι τα ακρότατα μιας συνάρτησης διαθέτουν δύο συνεχείς παραγώγους, αν και η ύπαρξη του ολοκληρώματος {{math|''A''}} απαιτεί μόνο την πρώτη παράγωγο από τις δοκιμαστικές συναρτήσεις. Η συνθήκη του μηδενισμού της πρώτης μεταβολής στις ακρότατες συναρτήσεις μπορεί να θεωρηθεί ως μία '''αδύναμη μορφή''' της εξίσωσης Euler-Lagrange. Το θεώρημα του Du Bois-Reymond αποφαίνεται ότι αυτή η αδύναμη μορφή συνεπάγεται την ισχυρή. Αν η {{math|''L''}} έχει συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές της και αν ισχύει ότι
<dl>
:<math>\frac{\partpartial^2 L}{(\partpartial f')^2} \ne 0, </math>
</dl>τότε η <math>f_0</math> έχει δύο συνεχείς παραγώγους και ικανοποιεί την εξίσωση Euler-Lagrange.   
 
Δεδομένου ότι η <math display="inline">u</math> είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της απόκλισης απ' όπου παίρνουμε την
:<math> \iint_D \nabla \cdot (v \nabla u) \,dx\,dy =
\iint_D \nabla u \cdot \nabla v + v \nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy = \iint_C v \frac{\partpartial u}{\partpartial n} ds, \,</math>
όπου <math display="inline">C</math> είναι το σύνορο του <math display="inline">D,</math> <math display="inline">s</math> είναι το μήκος του συνόρου και <math> \partpartial u / \partpartial n</math> είναι η κανονική παράγωγος του <math display="inline">u</math> στο <math display="inline">C.</math> Καθώς το <math display="inline">v</math> μηδενίζεται στο σύνορο, όπως και η πρώτη μεταβολή, καταλήγουμε στη σχέση
:<math>\iint_D v\nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy =0 \, </math>
για κάθε τέτοια ομαλή συνάρτηση <math display="inline">v.</math> Η απόδειξη για την περίπτωση των μονοδιάστατων ολοκληρωμάτων μπορεί να αναχθεί στην παρούσα έτσι ώστε να μας δίνει
 
Η συνάρτηση ελαχιστοποίησης <math display="inline"> u</math> πρέπει επίσης να ικανοποιεί τη φυσική οριακή συνθήκη
:<math> p(S) \frac{\partpartial u}{\partpartial n} + \sigma(S) u =0</math>
στο σύνορο <math display="inline"> B.</math> Αυτό το αποτέλεσμα βασίζεται στη θεωρία κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998) για λεπτομέρειες. Πολλές επεκτάσεις, συμπεριλαμβανομένων αποτελεσμάτων πληρότητας, ασυμπτωτικών ιδιοτήτων των ιδιοτιμών και αποτελεσμάτων που αφορούν τους κόμβους ιδιοσυναρτήσεων, βρίσκονται στο σύγγραμμα των Courant και Hilbert (1953).
== Εφαρμογές ==
:<math> S = \int_{t=t_0}^{t_1} L(x, \dot x, t) dt \,</math>
είναι στάσιμο σε σχέση με τις μεταβολές της διαδρομής ''x(t)''. Οι εξισώσεις Euler–Lagrange αυτού του συστήματος είναι γνωστές ως εξισώσεις Lagrange:
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partpartial L}{\partpartial \dot x} = \frac{\partpartial L}{\partpartial x}, \,</math>
και είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (για τέτοιου είδους συστήματα).
 
Οι συζυγείς ορμές ''P'' ορίζονται από
:<math> p = \frac{\partpartial L}{\partpartial \dot x}. \,</math>
Για παράδειγμα, αν
:<math> T = \frac{1}{2} m \dot x^2, \,</math>
:<math> H(x, p, t) = p \,\dot x - L(x,\dot x, t).\,</math>
Η Χαμιλτονιανή είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος: ''H'' = ''T'' + ''U''. Η αναλογία με τις αρχές του Fermat ορίζει ότι οι λύσεις των Λαγρανζιανών εξισώσεων (οι τροχές των σωματιδίων) μπορούν να περιγραφούν σε όρους επιπέδων των επιφανειών μιας συνάρτησης του ''X''. Αυτή η συνάρτηση είναι η λύση της [[εξίσωσης Hamilton–Jacobi]] :
:<math> \frac{\partpartial \psi}{\partpartial t} + H\left(x,\frac{\partpartial \psi}{\partpartial x},t\right) =0.\,</math>
 
== Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο ==
62

επεξεργασίες