Υπόθεση του συνεχούς: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
μ (προστέθηκε η Κατηγορία:Θεωρία συνόλων (με το HotCat))
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
 
Τουλάχιστον δύο άλλα αξιώματα έχουν προταθεί, τα οποία έχουν επιπτώσεις στην υπόθεση του συνεχούς, αν και τα αξιώματα αυτά δεν έχουν γνωρίσει μέχρι τώρα ευρεία αποδοχή στη μαθηματική κοινότητα. Το 1986, ο Κρις Φράιλινγκ παρουσίασε ένα επιχείρημα κατά της υπόθεσης του συνεχούς, αποδεικνύοντας ότι η άρνησή της είναι ισοδύναμη με το [[αξιώμα της συμμετρίας]] (του ιδίου), μία πρόταση σχετική με τις [[Θεωρία πιθανοτήτων|πιθανότητες]]. Ο Φράιλινγκ πιστεύει ότι το αξιώμα αυτό είναι "διαισθητικά ορθό", αλλά άλλοι έχουν εκφράσει διαφωνίες. Ένα δύσκολο επιχείρημα εναντίον της υπόθεσης του συνεχούς, που αναπτύχθηκε από τον [[Χιου Γούντιν|Γούντιν]], έχει προσελκύσει σημαντικά την προσοχή, από το έτος 2000. Ο Φόρμαν δεν απορρίπτει το επιχείρημα του Γούντιν ευθέως, αλλά τονίζει ότι χρειάζεται επιφύλαξη.
 
Ο [[Σόλομον Φέφερμαν]] (2011) δημιούργησε ένα σύνθετο φιλοσοφικό επιχείρημα: ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν είναι ένα σαφώς ορισμένο μαθηματικό πρόβλημα. Προτείνει μια θεωρία "σαφούς ορισμού" χρησιμοποιώντας ένα ημιδιαισθητικό υποσύστημα της θεωρίας συνόλων ZFC που αποδέχεται την κλασική λογική για φραγμένους ποσοδείκτες, αλλά χρησιμοποιεί [[διαισθητική λογική]] για μη φραγμένους, και προτείνει ότι μία πρόταση <math>\phi</math> είναι μαθηματικά "σαφώς ορισμένη" αν η ημιδιαισθητική θεωρία μπορεί να αποδείξει ότι <math>(\phi\orlor\neg\phi)</math>. Διατυπώνει την εικασία ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν είναι σαφώς ορισμένη σύμφωνα με αυτήν την ιδέα, και προτείνει ότι για το λόγο αυτό, η υπόθεση θα πρέπει να θεωρηθεί ότι δε δέχεται αληθοτιμή. Ο [[Πίτερ Κέλνερ]] έγραψε έναν σχολιασμό στο άρθρο του Φέφερμαν.
 
Ο [[Τζόελ Ντέιβιντ Χάμκινς]] προτείνει μία πολυσυμπαντική προσέγγιση στη θεωρία συνόλων και υποστηρίζει ότι "η υπόθεση του συνεχούς έχει βασιστεί στην πολυσυμπαντική οπτική γωνία από την εκτεταμένη μας γνώση για το πώς συμπεριφέρεται στο πολυσύμπαν, και ως εκ τούτου δεν μπορεί πια να οργανωθεί με τον τρόπο με τον οποίο παλαιότερα ελπίζαμε." Με παρόμοιο τρόπο, ο [[Σάαρον Σίλα]] έγραψε ότι "δε συμφωνεί με την καθαρά πλατωνική άποψη ότι μπορεί να αποφασιστεί η λύση για τα ενδιαφέρονται προβλήματα στη θεωρία συνόλων, ότι απλώς πρέπει να ανακαλύψουμε το επιπρόσθετο αξίωμα. Η νοητή εικόνα που έχω είναι ότι έχουμε πολλές δυνατές θεωρίες συνόλων, που όλες είναι σύμφωνες με τη θεωρία συνόλων ZFC".
62

επεξεργασίες