Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

μ
Αποσαφήνιση από Απόσταση σε Απόσταση (γεωμετρία)
μ
μ (Αποσαφήνιση από Απόσταση σε Απόσταση (γεωμετρία))
 
== Σύστημα μέτρησης και αριθμητική ==
Η ευκλείδεια γεωμετρία έχει δύο θεμελιώδεις τύπους μέτρησης: [[γωνία]] και [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]]. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε την [[ορθή γωνία]] ως μια βασική μονάδα για να περιγράψει τις υπόλοιπες γωνίες. Δηλαδή μια γωνία 45 μοιρών είναι ίση με μισή ορθή γωνία. Η απόσταση παρ'όλα αυτά δεν είχε έναν σταθερό γνώμονα όπως η ορθή γωνία. Επιλέγοντας ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα μπορούσε κανείς να μετρήσει όλα τα υπόλοιπα σε συνάρτηση με το πρώτο. Ένα τμήμα με μήκος χ αντιστοιχεί στον αριθμό αυτό. Αν θέλουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς χ και y παίρνουμε τα τμήματα με μήκος χ και y και τοποθετούμε το τέλος του ενός στην αρχή του άλλου. Αυτή είναι και μια γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης. Με ανάλογο τρόπο γίνεται η αφαίρεση.
 
Η μέτρηση εμβαδού και όγκου προέρχεται από τις αποστάσεις. Για παράδειγμα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος 3 και μήκος 4 έχει εμβαδόν ίσο με το γινόμενο των δύο. Επειδή η γεωμετρική αυτή ερμηνεία του πολλαπλασιασμού περιορίζεται στις τρεις διαστάσεις δεν μπορούσε να αναπαρασταθεί γεωμετρικά το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών. Έτσι ο Ευκλείδης αν και έκανε κάποιους υπαινιγμούς(π.χ Πρόταση 20 βιβλίο ΙΧ), συνήθως αγνοούσε το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών.
[[Αρχείο:Congruent non-congruent triangles.svg|μικρογραφία|Ένα παράδειγμα ισότητας. Τα πρώτα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους και [[όμοια]] με το τρίτο τρίγωνο. Το τελευταίο δεν είναι τίποτα με τα πρώτα τρία. Παρατηρούμε ότι η θέση και η φορά των τριγώνων μπορεί να αλλάζουν αλλά αυτά που παραμένουν για να έχουμε ισότητα είναι η [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] και η [[γωνία]].]]
Ο Ευκλείδης αναφέρει ένα ζευγάρι ευθειών, επιπέδων ή στερεών ως "ίσα" αν τα μήκη, εμβαδά ή όγκοι τους είναι αντίστοιχα ίσοι. Όμοια για τις γωνίες. Η ισχυρότερη έννοια "[[Ισότητα (μαθηματικά)|ισότητα]]" ορίζεται να είναι η ιδιότητα που λέει πως ένα αντικείμενο έχει ίδιο μέγεθος και σχήμα με κάποιο άλλο. Επίσης ένα σχήμα είναι ίσο με ένα άλλο αν μετακινήσουμε το πρώτο πάνω στο δεύτερο και παρατηρήσουμε ότι ταυτίζονται. Π.χ ένα ορθογώνιο 2*6 με ένα ορθογώνιο 3*4 είναι ισοδύναμα αλλά δεν είναι ίσα. Σχήματα που είναι ίσα χωρίς να έχουν ίδιο μέγεθος αποκαλούνται [[όμοια]]. Αντίστοιχες γωνίες σε ένα ζευγάρι όμοιων σχημάτων είναι ίσες και αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες μεταξύ τους.
 
71.213

επεξεργασίες