Συνάρτηση Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
τυπο + βελτ παραδειγμ |
|||
Γραμμή 2:
Η '''συνάρτηση 'Οιλερ''' (Euler - από τον μαθηματικό [[Λέοναρντ Όιλερ]] ''Leonhard Euler'') , η οποία έχει καθιερωθεί να συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα [[φ]], είναι αριθμοθεωρητική συνάρτηση η οποία ορίζεται στους θετικούς ακέραιους αριθμούς.
Για κάθε θετικό ακέραιο <math>\,n</math>, το <math>\varphi(n)</math> μας δίνει το πλήθος των
Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον αριθμό
Η συνάρτηση του Όιλερ είναι πολύ χρήσιμη στην [[θεωρία αριθμών]]. Αρκεί και μόνο να παρατηρήσει κάποιος ότι το πλήθος των στοιχείων της πολλαπλασιαστικής ομάδας των ακεραίων modulo n είναι ακριβώς <math>\varphi(n)</math>. Αυτό το γεγονός, μαζί με το [[θεώρημα του Λαγκράνζ]], μας δίνουν την απόδειξη για το [[θεώρημα του Όιλερ]], που αποτελεί γενίκευση του [[μικρό θεώρημα του Φερμά|μικρού θεωρήματος του Φερμά]].
Γραμμή 19:
===1η ιδιότητα===
Η συνάρτηση του Όιλερ είναι [[πολλαπλασιαστική συνάρτηση|πολλαπλασιαστική]], που σημαίνει ότι για δύο φυσικούς m, n με μκδ(m, n) = 1 ισχύει <math>\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)</math>.
===2η ιδιότητα===
Γραμμή 37 ⟶ 36 :
Με χρήση των παραπάνω και του [[Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων|Κινεζικού Θεωρήματος Υπολοίπων]] η τιμή της <math>\phi(n)</math> μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής|Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής]]:
Αν <math>n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math>,▼
▲<math>n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math>,
όπου τα <math>\,p_j</math> είναι διακεκριμένοι [[πρώτος αριθμός|πρώτοι αριθμοί]],
τότε
Γραμμή 58 ⟶ 56 :
όπου d είναι όλοι οι (θετικοί) διαιρέτες του n.
Για παράδειγμα τα κλάσματα 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 9/9 αν απλοποιηθούν δίνουν 1/9, 2/9, 1/3, 4/9, 5/9, 2/3, 7/9, 8/9, 1/1.
Οι παρονομαστές είναι όλοι οι διαιρέτες του 9: 9,3, 1. Πόσα έχουν παρονομαστή το 9; όσα ο αριθμητής τους δεν είχε κοινό διαιρέτη με το 9, δηλ. φ(9). Πόσα έχουν παρονομαστή το 3; φ(3). Πόσα το 1; φ(1). Και αυτά είναι όλα τα κλάσματα. Συνολικά είναι 9, δηλ. φ(9)+φ(3)+φ(1) = 9.
=== Παρατήρηση ===
Μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο τύπο για την <math>\phi(n)</math>, χρησιμοποιώντας την αντιστροφή του
:<math>n=\sum_{d\mid n} \phi(d) </math>
Ο τύπος αυτός είναι ο εξής:
| |||