Πρώτος αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

| [[PrimeGrid]]<ref>{{cite web|author=Chris K. Caldwell |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |title=The Top Twenty: Primorial |publisher=Primes.utm.edu |date= |accessdate=2013-02-05}}</ref>

| [[PrimeGrid]]<ref>{{cite web|author=Chris K. Caldwell |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 |title=The Top Twenty: Twin Primes |publisher=Primes.utm.edu |date= |accessdate=2013-02-05}}</ref>

Το ''[[κόσκινο του Ερατοσθένη]]'' είναι ένας αργός αλγόριθμος για το αν ένας συγκεκριμένος αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι, διότι μεταξύ άλλων απαιτεί ουσιαστικά και την εύρεση όλων των πρώτων μικρότερων ίσων του <math>\sqrt{N}</math> (αν ένας αριθμός Ν δεν έχει διαιρέτες μικρότερους ίσους του <math>\sqrt{N}</math>, τότε είναι πρώτος).

Στις 14/2/ Φεβρουαρίου 1999 οι Γιούρι Ματιγιάσεβιτς και Μπόρις Στέκιν δημοσίευσαν στο διαδίκτυο το οπτικό κόσκινο των πρώτων αριθμών. Τα σημεία της παραβολής <math>x=y^2</math> με ακέραιες συντεταγμένες ορίζουν χορδές που τέμνουν τον οριζόντιο άξονα x΄x σε σημεία της μορφής (αβ,0) όπου α,β ακέραιοι κι επομένως σαρώνουν όλους τους σύνθετους θετικούς ακέραιους.

απείρως πολλούς πρώτους αριθμούς, μόνο όταν οι α και q είναι σχετικοί πρώτοι αριθμοί, δηλαδή ο [[Μέγιστος κοινός διαιρέτης|μέγιστος κοινός τους διαιρέτης]] είναι το ένα. Αν ικανοποιείται αυτή η αναγκαία συνθήκη, τότε το θεώρημα του Ντίριχλετ για τις αριθμητικές προόδους ισχυρίζεται ότι η πρόοδος περιέχει απείρως πολλούς πρώτους αριθμούς. Η εικόνα παρακάτω απεικονίζει την πρόοδο με q = 9: οι αριθμοί είναι "τυλιγμένοι γύρω" μέχρι να περάσει ένα πολλαπλάσιο του 9. Οι πρώτοι αριθμοί είναι μαρκαρισμένοι με κόκκινο χρώμα. Οι σειρές(= πρόοδοι) που αρχίζουν με α = 3, 6 ή 9 περιέχουν το πολύ ένα πρώτο αριθμό. Σε όλες τις άλλες σειρές (α = 1, 2, 4, 5, 7 και 8) υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί. Επιπλέον, οι πρώτοι αριθμοί κατανέμονται ισομερώς μεταξύ αυτών των σειρών σε όλη τη ροή - η πυκνότητα των πρώτων αριθμών με σύγκλιση α μέτρου 9 είναι 1/6.

Επιπλέον, ένα από τα ανοιχτά ερωτήματα της σύγχρονης θεωρίας αριθμών είναι το πρόβλημα της παραγοντοποίησης μεγάλων ακεραίων, δηλαδή της εύρεσης αλγορίθμου παραγοντοποίησης σε πολυωνυμικό χρόνο. Στην "σκιά" αυτού του προβλήματος αναπτύχθηκε η [[Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού]] και ειδικότερα του κρυπτοσυστήματος RSA.

Η έννοια του πρώτου αριθμού είναι τόσο σημαντική που έχει γενικευτεί με διάφορους τρόπους σε ποικίλους τομείς των μαθηματικών. Γενικά, ο όρος "πρώτος" προσδιορίζει την ελαχιστοποίηση ή το διαχωρισμό ενός αντικειμένου στα βασικά του στοιχεία. Για παράδειγμα, το πεδίο των πρώτων αριθμών είναι το μικρότερο υποδιάστημα ενός διαστήματος F που περιέχει το 0 και το 1. Είναι είτε το σύνολο Q ή το πεπερασμένο σύνολο με p στοιχεία, εξ ου και η ονομασία. Συχνά ένας δεύτερος, πρόσθετος ορισμός προορίζεται από τη χρήση της λέξης πρώτος, δηλαδή ότι κάθε αντικείμενο μπορεί ουσιαστικά και μοναδικά να αναλυθεί στα βασικά χαρακτηριστικά του. Για παράδειγμα, στη θεωρία των κόμπων, ένας πρώτος (βασικός) κόμπος είναι ένας κόμπος, ο οποίος είναι αδιάσπαστος, με την έννοια ότι δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο τετριμμένων κόμπων. Κάθε κόμπος μπορεί να εκφραστεί μοναδικά ως ένα συνδεδεμένο άθροισμα βασικών (πρώτων) κόμπων. Άλλα παραδείγματα αυτού του τύπου είναι τα μοντέλα πρώτων αριθμών και οι πρώτοι αριθμοί τριπλής πολλαπλότητας.

Οι πρώτοι αριθμοί έχουν επηρεάσει πολλούς καλλιτέχνες και συγγραφείς. Ο Γάλλος συνθέτης Ολιβιέρ Μεσσιάν χρησιμοποίησε τους πρώτους αριθμούς για να δημιουργήσει αμετρική μουσική μέσω "φυσικών φαινομένων". Σε έργα, όπως Λα Νατιβίτ ντου Σενό (1935) και Κουάτρ ετούντ ντε ριμ (1949–50), ο συνθέτης χρησιμοποιεί ταυτόχρονα μοτίβα με μήκη που δίνονται από διαφορετικούς πρώτους αριθμούς για να δημιουργήσει απρόβλεπτους ρυθμούς: οι πρώτοι αριθμοί 41, 43, 47 και 53 εμφανίζονταi στο έργο "Neumes rythmiques". Σύμφωνα με τον Μεσσιάν, αυτός ο τρόπος σύνθεσης ήταν εμπνευσμένος από τις κινήσεις της φύσης, τις κινήσεις της ελεύθερης και άνισης διάρκειας.

Πολλές ταινίες, όπως Cube, Sneakers, The Mirror Has Two Faces και A Beautiful Mind αντικατοπτρίζουν μια δημοφιλή γοητεία των πρώτων αριθμών και της κρυπτογραφίας. Οι πρώτοι αριθμοί χρησιμοποιούνται ως αλληγορία για τη μοναξιά και την απομόνωση στο μυθιστόρημα του The Solitude of Prime Numbers του Paolo Giordano, στο οποίο οι πρώτοι αριθμοί παρουσιάζονται ως "ξένοι" μεταξύ των ακεραίων αριθμών.