Θεωρία πιθανοτήτων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΠΡΟΣΕΧΕ ΜΗ ΣΟΥ ΠΕΣΕΙ ΤΟ ΚΙΛΟΤΑΚΙ
Ετικέτες: Άδειασμα περιεχομένου σελίδας άδειασμα του λήμματος άδειασμα
μ Αναίρεση έκδοσης 7623003 από τον 2A02:2149:8746:CC00:BC83:C662:E43D:EC58 (Συζήτηση)
Ετικέτα: Αναίρεση
Γραμμή 1:
{{Επιστημονικό πεδίο|
|όνομα= Θεωρία πιθανοτήτων
|dewey=519
|msc2010= 60Axx
}}
 
Η '''θεωρία πιθανοτήτων''' ([[αγγλικά]]: ''Probability Theory'') είναι μια αξιωματική μαθηματική θεωρία μέτρου. Πρόκειται δηλαδή για τον κλάδο των [[μαθηματικά|μαθηματικών]] ο οποίος ασχολείται με την ανάλυση τυχαίων φαινομένων. Κεντρικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων παίζει η έννοια της '''πιθανότητας''', ενώ σημαντικές είναι οι [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίες μεταβλητές]], οι [[συνάρτηση κατανομής|συναρτήσεις κατανομής]], οι [[στοχαστική διαδικασία|στοχαστικές διαδικασίες]] και τα [[Γεγονός (Θεωρία Πιθανοτήτων)|γεγονότα]]: μαθηματικές αφαιρέσεις μη [[ντετερμινισμός|ντετερμινιστικών]] συμβάντων τα οποία είτε συμβαίνουν μία φορά είτε εξελίσσονται με το πέρασμα του [[χρόνος|χρόνου]]. Η πιθανότητα εκφράζει την αβεβαιότητα του ανθρώπου για την εξέλιξη των φαινομένων. Το μέτρο δε της πιθανότητας ορίστηκε να είναι ένας θετικός αριθμός, μικρότερος ή ίσος του ένα. Αν και τα γεγονότα που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή το στρίψιμο ενός κέρματος, είναι τυχαία, όταν επαναλαμβάνονται πολλές φορές η αλληλουχία των τυχαίων γεγονότων παρουσιάζει ορισμένα στατιστικά μοτίβα τα οποία μπορούν να μελετηθούν και να προβλεφθούν. Δύο αντιπροσωπευτικά μαθηματικά αποτελέσματα που περιγράφουν τέτοια μοτίβα είναι ο [[νόμος των μεγάλων αριθμών]] και το [[θεώρημα κεντρικού ορίου]].
 
Ως μαθηματικό θεμέλιο της [[στατιστική]]ς, η θεωρία πιθανοτήτων είναι απαραίτητη σε πολλές δραστηριότητες που περιλαμβάνουν ανάλυση μεγάλων συνόλων [[δεδομένα|δεδομένων]]. Μέθοδοι της θεωρίας πιθανοτήτων εφαρμόζονται και στην περιγραφή [[πολύπλοκο σύστημα|πολύπλοκων συστημάτων]], όπως στη [[στατιστική μηχανική]]. Μία μεγάλη ανακάλυψη του [[20ος αιώνας|εικοστού αιώνα]] ήταν η πιθανοκρατική φύση των φυσικών νόμων σε [[άτομο|υποατομικό]] επίπεδο, σύμφωνα με τα ευρήματα της [[κβαντική μηχανική|κβαντομηχανικής]].
 
== Ιστορικό ==
 
== Έννοιες ==
=== Κλασική πιθανότητα ===
 
Η έννοια της πιθανότητας ορίστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός [[πείραμα τύχης|πειράματος τύχης]], όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος. Οι πιθανότητες είναι [[αριθμός|αριθμοί]] οι οποίοι ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιον τυχαίο τρόπο. Με τον συνήθη συμβολισμό, οι πιθανότητες <math>P(E)</math> ανατίθενται στα γεγονότα <math>E</math>. Οι πιθανότητες είναι [[κανονικοποίηση|κανονικοποιημένες]] και παίρνουν [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικές]] τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.
 
Ισχύουν οι κάτωθι ορισμοί:
* '''Απλό ενδεχόμενο''' ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με <math>\,\omega</math>.
* '''[[Δειγματοχώρος]]''' <math>\Omega\,</math> είναι το [[σύνολο]] όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο <math>\,\omega</math> ισχύει <math>\,\omega\in\Omega</math>.
* '''[[Γεγονός (Θεωρία Πιθανοτήτων)|Γεγονός]]''' <math>A\,</math> είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι [[υποσύνολο]] του <math>\Omega,\,</math> <math>A \sub\Omega\,</math>. To <math>\Omega\,</math> είναι το ίδιο ένα γεγονός και ονομαζεται ''βέβαιο γεγονός''.
 
==== Παράδειγματα ====
;Ρίψη ζαριού
Θεωρούμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε έξι απλά ενδεχόμενα. Έστω <math>\,\omega_1</math> το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα <math>\,\omega_i, i=2,\dots,6</math>.
Ο δειγματοχώρος είναι ο <math>\,\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}</math> ή για λόγους απλότητας
<math>\,\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>.
Το γεγονός <math>A\,</math> να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) <math>\,A=\{2, 4, 6\}</math>.
Το γεγονός <math>B\,</math> να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι <math>\,B=\{1, 2\}</math>.
 
Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.
:<math>P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}</math>
 
Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε
:<math>P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#\{2, 4, 6\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac36=0,5</math>
:<math>P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{\#\{1,2\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac26=0,333</math>
 
;Παράδοξο των γενεθλίων
Το [[παράδοξο των γενεθλίων]] ασχολείται με το ερώτημα: Σε μία ομάδα 23 ατόμων ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια;
Ενώ διαισθητικά θα περιμέναμε μια σχετικά μικρή πιθανότητα, αυτή αποδεικνύεται ότι είναι 50%.
 
=== Μέτρο πιθανότητας ===
 
Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό [[Αντρέι Κολμογκόροβ]] (''Andrey Kolmogorov'').
 
Έστω ένα σύνολο <math>\Omega</math> και μία [[σ-άλγεβρα|σ-άλγεβρά]] του <math>\mathcal{F}</math>.
Πιθανότητα <math>P\,</math> ονομάζεται η συνάρτηση <math>P:\mathcal{F}\to \R</math> που ικανοποιεί:
# <math>P(A)\geq 0, \;\forall A\in\mathcal{F}</math>
# <math>P(\Omega)=1\,</math>
# <math>P(\cup_{i\in I}A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i)\quad \forall \{A_i\}_{i\in I}\sub\mathcal{F}, I\sub\N:A_i\cap A_j=\emptyset \;\forall i\neq j</math>
 
Η πιθανότητα είναι ένα [[μέτρο (μαθηματικά)|μέτρο]] στον <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> με την ιδιότητα <math>P(\Omega)=1\,</math>.
 
Αν στην πιθανότητα <math>P\,</math> αντιστοιχεί μία [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας]] f, τότε η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:
:<math>P(A)=\int_Af(x)dx\;</math>
 
Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες:
 
* <math>P(\Omega\backslash A) = 1-P(A)</math>
* <math>P(\emptyset) = 0</math>
* <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>.
 
=== Δεσμευμένη πιθανότητα ===
 
Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός <math>E</math> συμβαίνει ''με δεδομένο'' ότι έχει συμβεί ένα γεγονός <math>F</math> είναι η '''[[δεσμευμένη πιθανότητα]]''' του <math>E</math> '''με δεδομένο''' το <math>F</math> η οποία ορίζεται, μόνο αν το <math>F</math> δεν είναι αδύνατο γεγονός <math>(P(F)> 0)</math>, ως:
:<math>P(E|F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}</math> .
 
Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του <math>E</math> με δεδομένο το <math>F</math> είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του <math>E</math>, τότε τα <math>E</math> και <math>F</math> είναι [[στατιστική ανεξαρτησία|ανεξάρτητα]] γεγονότα και ισχύει <math>P(E \cap F)=P(E)\cdot P(F)</math>.
 
H δεσμευμένη πιθανότητα <math>P(\cdot|F)=:Q(\cdot)</math> ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον <math>(F,\mathcal{F}_F)</math>, όπου <math>\mathcal{F}_F=\cup_{A\in\mathcal{F}}(A\cap F)</math>, αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.
 
== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
* {{cite web|title= Γρίφοι Πιθανοτήτων|url= http://grifoi.org/piuanothtvn.html}}
 
{{Μαθηματικά-υποσέλιδο}}
 
[[Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων| ]]
 
[[id:Peluang (matematika)]]