Διαφορική γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 Από τα τέλη του 19ου αιώνα, η διαφορική γεωμετρία έχει εξελιχθεί σε ένα πεδίο που αφορά γενικότερα τις γεωμετρικές δομές στις [[διαφορίσιμες πολλαπλότητες]]. Η Διαφορικήδιαφορική γεωμετρία είναι στενά συνδεδεμένη με τη [[διαφορική τοπολογία]] και τις γεωμετρικές πτυχές της θεωρίας των [[Διαφορικές εξισώσεις|διαφορικών εξισώσεων]]. Η [[Διαφορική γεωμετρία επιφανειών|διαφορική γεωμετρία των επιφανειών]] συλλαμβάνει πολλές από τις βασικές ιδέες και τεχνικές, χαρακτηριστικές αυτού του τομέα. 

 Η Διαφορικήδιαφορική γεωμετρία προέκυψε και αναπτύχθηκε ως αποτέλεσμα και σε σχέση με τηντη μαθηματική ανάλυση των καμπυλών και επιφανειών. Η Μαθηματικήμαθηματική ανάλυση των καμπυλών και των επιφανειών είχε αναπτυχθεί για να απαντήσει σε μερικά από τα ενοχλητικά και αναπάντητα ερωτήματα που εμφανίστηκαν στο Λογισμόλογισμό, όπως οι λόγοι για τις σχέσεις μεταξύ πολύπλοκων σχημάτων και καμπυλών, σειρών και αναλυτικών συναρτήσεων. Αυτά τα αναπάντητα ερωτήματα υποδείκνυαν μεγαλύτερες, κρυφές σχέσεις και συμμετρίες στη φύση, που οι τυποποιημένες μέθοδοι για την ανάλυση δεν θα μπορούσαν να εφαρμοστούν. 

Αρχικά εφαρμόστηκε στον Ευκλείδειοευκλείδειο χώρο, περαιτέρω εξερευνήσεις οδήγησαν σε μη Ευκλείδειοευκλείδειο χώρο, και μετρικούς και τοπολογικούς χώρους.

Η γεωμετρία του Riemann μελετά [[Πολλαπλότητες Riemann πολλαπλότητες]] , ομαλές πολλαπλότητες με μετρική του Riemann. Αυτή είναι μια έννοια της απόστασης που εκφράζεται μέσω μιας [[ομαλής, θετικής, καθορισμένης συμμετρικής διγραμμικής μορφής]] που ορίζεται στον εφαπτόμενο χώρο σε κάθε σημείο. Η γεωμετρία του Riemann γενικεύει την[[ Ευκλείδεια γεωμετρία]] σε χώρους που δεν είναι κατ ' ανάγκη επίπεδο, αν και εξακολουθούν να μοιάζουν με τον [[Ευκλείδειος χώρος|Ευκλείδειο χώρο]] σε κάθε σημείο απειροελάχιστα, δηλαδή στην πρώτη τάξη προσέγγισης. Διάφορες έννοιες με βάση το μήκος, όπως το μήκος του [[Τόξο (γεωμετρία)|τόξου]] της [[Καμπύλη|καμπύλης]], η περιοχή των επίπεδων περιοχών, και του [[Όγκος|όγκου]] των στερεών όλα διαθέτουν φυσικές αναλογίες στη γεωμετρία του Riemann. Η έννοια της [[κατευθυντήριας παραγώγου]] μίας συνάρτησης από τον λογισμό πολλών μεταβλητών επεκτείνεται στη γεωμετρία του Riemann με την έννοια της [[Συναλλοίωτη παραγώγου|συναλλοίωτης παραγώγου]] του [[Τανυστής|τανυστή]]. Πολλές έννοιες και τεχνικές της ανάλυσης και των διαφορικών εξισώσεων έχουν γενικευτεί στη σύνθεση των Riemann πολλαπλοτήτων Riemann.