Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Σύνδεσμος προς 2 βιβλία για επαληθευσιμότητα.) #IABot (v2.1alpha3 |
|||
Γραμμή 25:
Η μέθοδος του φαν Ρόομεν, παρόλο που έλυσε επιτυχώς το απολλώνιο πρόβλημα, είχε ένα μειονέκτημα. Μία πολύτιμη ιδιότητα της κλασσικής [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδειας γεωμετρίας]] είναι η δυνατότητα να λύνονται τα προβλήματα με τη χρήση μόνο [[κατασκευές με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]].<ref>{{cite book| author = Courant R, Robbins H| year = 1943| title = What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods| publisher = Oxford University Press| location = London| pages = 125–127, 161–162| isbn = 0195105192}}</ref> Πολλές κατασκευές είναι αδύνατες χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία, όπως η [[τριχοτόμηση της γωνίας]]. Εντούτοις πολλά τέτοια ''αδύνατα'' προβλήματα μπορούν αν λυθούν με αλληλοτεμνόμενες καμπύλες όπως οι υπερβολές, οι [[έλλειψη|ελλείψεις]] και οι [[παραβολή (γεωμετρία)|παραβολές]] ([[κωνικές τομές]]). Για παράδειγμα ο [[διπλασιασμός του κύβου]] (το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο) δεν μπορεί να λυθεί με κανόνα και διαβήτη, όμως ο [[Μέναιχμος (μαθηματικός)|Μέναιχμος]] απέδειξε ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τις τομές δύο παραβολών.<ref>{{cite book|author=Bold B| title = Famous problems of geometry and how to solve them| publisher = Dover Publications| year = 1982| pages = 29–30| isbn = 0486242978}}</ref> Έτσι η λύση του φαν Ρόομεν, η οποία χρησιμοποιεί την τομή δύο υπερβολών, δεν εξακρίβωσε το αν μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.
Ο φίλος του φαν Ρόομεν, [[Φρανσουά Βιέτ]], ο οποίος ήταν αυτός που τον είχε παροτρύνει να δουλέψει πάνω στο απολλώνιο πρόβλημα, ανέπτυξε μία μέθοδο που χρησιμοποιούσε μόνο κανόνα και διαβήτη.<ref name="viete_1970">{{cite book| author = Viète F. |author-link = François Viète| title = Francisci Vietae Opera mathematica | chapter = Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria| publication-date=1646|editor = Frans van Schooten| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.r=.langEN|publisher = ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum)|language = latin| pages = 325–346|year=1600}} {{la icon}}</ref> Πριν την λύση του Βιέτ, ο [[Ρεγκιομοντάνους]] (''Regiomontanus'') αμφέβαλε στο κατά πόσο ήταν δυνατό να λυθεί το πρόβλημα μόνο με κανόνα και διαβήτη.<ref name="boyer_1991_322">{{cite book| author = [[Carl Benjamin Boyer|Boyer CB]], Merzbach UC| year = 1991| title = A History of Mathematics| edition = 2nd| publisher = John Wiley & Sons, Inc.| isbn = 0-471-54397-7| chapter = Apollonius of Perga| page = [https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/322 322]| url = https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/322}}</ref> Ο Βιέτ έλυσε αρχικά το πρόβλημα για κάποιες απλές περιπτώσεις, όπως την εύρεση κύκλου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, το οποίο έχει μόνο μία λύση αν τα σημεία είναι διακριτά. Στην συνέχεια έλυσε μερικές πιο πολύπλοκες ειδικές περιπτώσεις, σε κάποιες περιπτώσεις μικραίνοντας ή μεγαλώνοντας τους δεδομένους κύκλους.<ref name="Dörrie 1965"/> Σύμφωνα με μία αναφορά του 4ου αιώνα από τον [[Πάππος|Πάππο]], το βιβλίο του Απολλώνιου για το πρόβλημα με τίτλο ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}'' ([[λατ.]]: ''De tactionibus'', ''De contactibus'') ακολουθούσε παρόμοια προσέγγιση.<ref name="pappus"/> Έτσι η λύση του Βιέτ θεωρείται ως μία πιθανή ανακατασκευή αυτής του Απολλώνιου, ενώ έχουν προταθεί ανεξάρτητα και άλλες ανακατασκευές από τρεις διαφορετικούς συγγραφείς.<ref name="alt_reconstructions">[[Robert Simson|Simson R]] (1734) ''Mathematical Collection'', volume VII, p. 117.<br />{{cite book| author = Zeuthen HG| year = 1886| title = Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum| publisher = Unknown| location = Copenhagen| pages = 381–383}} {{de}}<br />{{cite book| author = [[T. L. Heath|Heath TL]]| title = A History of Greek Mathematics, Volume II: From Aristarchus to Diophantus| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 181–185, 416–417}}</ref>
Αρκετές άλλες γεωμετρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Η πιο σημαντικές από αυτές ήταν του [[Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ]] (''Jean-Victor Poncelet'') (1811)<ref>{{cite journal| author = [[Jean-Victor Poncelet|Poncelet J-V]]| month = January| year = 1811| title = Solutions de plusieurs problêmes de géométrie et de mécanique| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 3| pages = pp. 271–273}} {{fr icon}}</ref> και του [[Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν]] (1814).<ref name="gergonne_1814" >{{cite journal| author = [[Joseph Diaz Gergonne|Gergonne J]]| date = 1813–1814|title = Recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphère| journal = Ann. Math. Pures appl.|volume = 4}} {{fr icon}}</ref> Ενώ η μέθοδος του Πονσελέ βασίζονταν στα [[ομοθετικό κέντρο|ομοθετικά κέντρα]] των κύκλων και στο θεώρημα της [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], η μέθοδος του Ζεργκόν εκμεταλλεύτηκε την αντιδιαμετρική σχέση μεταξύ των ευθειών και των [[πόλος (γεωμετρία)|πόλων]] τους σε ένα κύκλο. Μεθόδους που χρησιμοποιούσαν [[γεωμετρία της αντιστροφής]] πρότεινες πρώτος ο [[Γιούλιους Πέτερσεν]] (''Julius Petersen'') το 1879.<ref name="petersen_1879">{{cite book| author = [[Julius Petersen|Petersen J]]| year = 1879| title = Methods and Theories for the Solution of Problems of Geometrical Constructions, Applied to 410 Problems| publisher = Sampson Low, Marston, Searle & Rivington| location = London| pages = 94–95 (Example 403)}}</ref> Ένα παράδειγμα είναι η μέθοδος της δακτυλιοειδούς λύσης του ''[[Harold Scott MacDonald Coxeter|HSM Coxeter]]''.<ref name="coxeter_1968" >{{cite journal| author = [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter HSM]]| year = 1968| title = The Problem of Apollonius| journal = The American Mathematical Monthly| volume = 75| pages = pp. 5–15| doi = 10.2307/2315097| issn = 00029890| month = Jan| day = 01| issue = 1}}</ref> Μια άλλη προσέγγιση χρησιμοποιεί την [[σφαιρική γεωμετρία Lie]],<ref name="zlobec_2001" /> που αναπτύχθηκε από τον [[Sophus Lie]].
Γραμμή 284:
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί από το επίπεδο σε [[σφαίρα|σφαιρική επιφάνεια]] και άλλες δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Για την σφαίρα, το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή όλων των κύκλων (όρια των [[σφαιρική τομή|σφαιρικών τομών]]) που εφάπτονται σε τρεις δοσμένους κύκλους επί της σφαίρας.<ref name="gergonne_1814" /><ref name="carnot_1803b" >{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = 415, §356}}</ref><ref name="vanson_1855" >{{cite journal| author = Vannson| year = 1855| title = Contact des cercles sur la sphère, par la geométrie| journal = Nouvelles Annales de Mathématiques| volume = XIV| pages = 55–71}} {{fr icon}}</ref> Αυτό το σφαιρικό πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί σε επίπεδο πρόβλημα χρησιμοποιώντας [[στερεογραφική προβολή]]. Αφού κατασκευαστούν οι λύσεις στο επίπεδο πρόβλημα μπορούν να καθοριστούν οι λύσεις του του σφαιρικού προβλήματος με αντιστροφή της στερεογραφικής προβολής. Ακόμα γενικότερα, μπορεί να θεωρηθεί το πρόβλημα τεσσάρων εφαπτόμενων καμπυλών που προκύπτουν από την τομή τυχαίων δευτεροβάθμιων επιφανειών με τέσσερα επίπεδα, όπως προτάθηκε για πρώτη φορά από τον ''[[Charles Dupin]].<ref name="altshiller-court_1961" />
Λύνοντας το απολλώνιο πρόβλημα επαναληπτικά για την εύρεση των εγγεγραμμένων κύκλων, τα κενά μεταξύ των εφαπτόμενων κύκλων μπορούν να πληρωθούν αυθαίρετα, σχηματίζοντας το [[απολλώνιο έμβυσμα]], γνωστή και ως ''Leibniz packing'' ή ''Apollonian packing''.<ref>{{cite journal| author = Kasner E, Supnick F| year = 1943| title = The Apollonian packing of circles| journal = Proc. Natl. Acad. Sci. USA| volume = 29| pages = 378–384| doi = 10.1073/pnas.29.11.378| pmid = 16588629| month = Dec| issue = 11| issn = 0027-8424| url = http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pubmed&pubmedid=16588629| format = Free full text}}</ref> Αυτό το έμβυσμα είναι [[φράκταλ]], όντας αυτοόμοιο και έχοντας [[διάσταση Hausdorff]] ''d'' η οποία δεν είναι μεν γνωστή με ακρίβεια αλλά είναι της τάξης του 1,3,<ref name="boyd_1973">{{cite journal| author = Boyd DW| year = 1973| title = Improved Bounds for the Disk Packing Constants| journal = Aeq. Math.| volume = 9| pages = 99–106| doi = 10.1007/BF01838194}}<br />{{cite journal| author = Boyd DW| year = 1973| title = The Residual Set Dimension of the Apollonian Packing| journal = Mathematika| volume = 20| pages = 170–174}}<br />{{cite journal|last=McMullen|first= Curtis T|title= Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension|url=http://abel.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/dimIII/dimIII.pdf|journal=American Journal of Mathematics|volume=120|year=1998|pages=691–721|format=PDF|doi=10.1353/ajm.1998.0031}}</ref> το οποίο είναι μεγαλύτερη από από μία [[κανονική καμπύλη|κανονική]] (ή πεπερασμένου μήκους) καμπύλη (''d'' = 1) αλλά μικρότερη από από αυτή του επιπέδου (''d'' = 2). Το απολλώνιο έμβυσμα περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] τον 17ο αιώνα, και είναι καμπύλος πρόδρομος του [[Τρίγωνο Σιερπίνσκι|τριγώνου Σιερπίνσκι]].<ref>{{cite book| author = [[Benoit Mandelbrot|Mandelbrot B]]| year = 1983| title = The Fractal Geometry of Nature| publisher = W. H. Freeman| location = New York| isbn = 978-0716711865| page = [https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno/page/170 170]| url = https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno/page/170}}<br />{{cite book| author = Aste T, [[Denis Weaire|Weaire D]]| year = 2008| title = In Pursuit of Perfect Packing| edition = 2nd| publisher = Taylor and Francis| location = New York| isbn = 978-1420068177| pages = 131–138}}</ref> Το απολλώνιο έμβυσμα έχει στενούς δεσμούς με άλλα πεδία των μαθηματικών, για παράδειγμα, είναι το οριακό σύνολο των [[σύνολα Klein|συνόλων Klein]].<ref>{{cite book| author = [[David Mumford|Mumford D]], Series C, Wright D| year = 2002| title = Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-35253-3| pages = 196–223}}</ref>
Η διάταξη με ένα κύκλο να εφάπτεται σε ''τέσσερις'' κύκλους στο επίπεδο έχει ειδικές ιδιότητες, οι οποίες διερευνήθηκαν από τον ''Larmor'' (1891)<ref name="larmor_1891">{{cite journal| author = Larmor A| year = 1891| title = Contacts of Systems of Circles| journal = Proc. London Math. Soc.| volume = 23| pages = 136–157| doi = 10.1112/plms/s1-23.1.135}}</ref> και τον ''Lachlan'' (1893).<ref name="lachlan_1893">{{cite book| author = Lachlan R| year = 1893| title = An elementary treatise on modern pure geometry| publisher = Macmillan| location = London| id = ASIN B0008CQ720| pages = §383–396, pp. 244–251| isbn = 1429700505}}</ref> Αυτή η διάταξη είναι και η βάση του [[Θεώρημα του Casey|θεωρήματος του Casey]],<ref name="casey_1881" /> όντας ταυτόχρονα και γενίκευση του [[Θεώρημα του Πτολεμαίου|θεωρήματος του Πτολεμαίου]].<ref name="johnson_1929" />
| |||