Φυσικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο παλαιότερος και πιο «κλασικός» συνολικός θεωρητικός ορισμός των φυσικών αριθμών είναι ο ορισμός που συνήθως αποδίδεται στον [[Γκότλομπ Φρέγκε]] και στον [[Μπέρτραντ Ράσελ]] του οποίου κάθε συγκεκριμένος φυσικός αριθμός n ορίζεται ως το σύνολο όλων των συνόλων με ''n'' στοιχεία..<ref>''[http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Frege.pdf Die Grundlagen der Arithmetik:] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070926172317/http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Frege.pdf |date=2007-09-26 }}'' ''eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl'' (1884). Breslau.</ref><ref>Whitehead, Alfred North, and Bertrand Russell. ''[[Principia Mathematica]]'', 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912, and 1913. Second edition, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abridged as ''Principia Mathematica to *56'', Cambridge University Press, 1962.</ref> Αυτό μπορεί να εμφανίζεται κυκλικό, αλλά μπορεί να γίνει με προσοχή αυστηρό. Ορίστε 0 ως {{&nbsp;}} (προφανώς το σύνολο όλων των συνόλων με μηδενικά στοιχεία) και να καθορίσει ''S''(''A'') (για κάθε σύνολο ''Α''), όπως {{nowrap begin}}{''x'' ∪ {''y''} | ''x'' ∈ ''A'' ∧ ''y'' ∉ ''x''}{{nowrap end}}.Το 0 τότε θα είναι το σύνολο όλων των συνόλων με μηδενικά στοιχεία, {{nowrap|1 {{=}} ''S''(0)}}θα είναι το σύνολο όλων των συνόλων με ένα στοιχείο, {{nowrap|2 {{=}} ''S''(1)}} είναι το σύνολο όλων των συνόλων με δύο στοιχεία, και ούτω καθεξής . Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών μπορεί να οριστεί ως η τομή όλων των συνόλων που περιέχουν 0 ως ένα στοιχείο και να κλείσει κάτω από''S'' (δηλαδή, εάν το σύνολο περιέχει ένα στοιχείο ''n'', περιέχει επίσης ''S''(''n'')). Κάποιος θα μπορούσε επίσης να καθορίσει "πεπερασμένο" ανεξάρτητα από την έννοια του «φυσικού αριθμού", και στη συνέχεια να ορίσει τους φυσικούς αριθμούς ως κλάσεις ισοδυναμίας των πεπερασμένων συνόλων σύμφωνα με την σχέση ισοδυναμίας της [[equipollence]]. Ο ορισμός αυτός δεν λειτουργεί στα συνήθη συστήματα της [[αξιωματική θεωρία συνόλων|αξιωματικής θεωρίας συνόλων]] , επειδή οι συλλογές που συμμετέχουν είναι πολύ μεγάλες (δεν θα λειτουργήσει σε οποιαδήποτε θεωρία των συνόλων με το [[αξίωμα του διαχωρισμού ]]);αλλά κάνει δουλειά σε [[Νέα Ιδρύματα]] (και σχετίζονται με τα συστήματα που είναι γνωστό ότι είναι σχετικά συνεπή), και σε κάποια συστήματα της [[θεωρία τύπου|θεωρίας τύπου]].