E (μαθηματική σταθερά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
→‎Τυπική κανονική κατανομή: διαγραφή αγγλικου κειμένου
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 11:
Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, ο {{mvar|e}} μπορεί να οριστεί ως ο μοναδικός θετικός αριθμός {{mvar|a}}, τέτοιος ώστε το γράφημα της συνάρτησης {{math|1=''y'' = ''a''<sup>''x''</sup>}} έχει [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] ίση με {{math|1}} όταν {{math|1=''x'' = 0}}.<ref>{{cite book|title = Calculus|author = Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein|publisher = Springer|year = 1985|isbn = 0-387-90974-5|url=http://books.google.com/?id=KVnbZ0osbAkC&printsec=frontcover}}</ref> Η συνάρτηση {{math|1=''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}} ονομάζεται ''[[εκθετική συνάρτηση|εκθετική]]'' και η [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντίστροφή]] της είναι ο [[φυσικός λογάριθμος]] ή λογάριθμος με [[Βάση (μαθηματικά)|βάση]] το {{mvar|e}}. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού {{math|''k''}} μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως η [[Ολοκλήρωμα|περιοχή κάτω]] από την καμπύλη {{math|1=''y'' = 1/''x''}} μεταξύ {{math|1=''x'' = 1}} και {{math|1=''x'' = ''k''}}, όπου , το {{mvar|e}} είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι {{math|1}}. Υπάρχουν όμως περισσότεροι [[#Εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί|εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί]].
 
Αποκαλούμενος μερικές φορές ως '''αριθμός Όιλερ''' από τον [[Ελβετία|Ελβετό]] [[Μαθηματικός|μαθηματικό]] [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο {{mvar|e}} δεν πρέπει να συγχέεται με την {{mvar|γ}}, τη [[σταθερά Euler–MascheroniΌιλερ–Μασκερόνι]] που μερικές φορές αναφέρεται απλά ''σταθερά Όιλερ''. Ο αριθμός {{mvar|e}} είναι επίσης γνωστός ως '''σταθερά του NapierΝέιπιερ''', αλλά η επιλογή του EulerΌιλερ του συμβόλου {{mvar|e}} λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του.<ref name="mathworld">{{cite web|last=Sondow|first=Jonathan|title=e|url=http://mathworld.wolfram.com/e.html|work=[[MathWorld|Wolfram Mathworld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|accessdate=10 May 2011}}</ref> Ο {{mvar|e}} ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] όταν μελετούσε σύνθετους τόκους.
 
Ο αριθμός {{mvar|e}} είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά,<ref>{{cite book|title = An Introduction to the History of Mathematics|author = Howard Whitley Eves|year = 1969|publisher = Holt, Rinehart & Winston|isbn =0-03-029558-0}}</ref> μαζί με το [[0 (αριθμός)|{{math|0}}]], το [[1 (αριθμός)|{{math|1}}]], το [[π (μαθηματική σταθερά)|{{mvar|π}}]] και το [[Φανταστική μονάδα|{{mvar|i}}]]. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της [[Ταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητας του Όιλερ]]. Όπως και η σταθερά {{mvar|π}}, το {{mvar|e}} είναι [[άρρητος]], δηλ. δεν είναι λόγος [[Ακέραιος|ακεραίων]], και είναι [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικό]], δηλ. δεν είναι ρίζα ''κάθε'' μη-μηδενικού [[Πολυώνυμο|πολυώνυμου]] με [[Ρητός|ρητούς]] συντελεστές. Η αριθμητική αξία του {{mvar|e}} μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι {{math|2,71828182845904523536028747135266249775724709369995}}... (ακολουθία [https://oeis.org/A001113 A001113] στο OEIS).
Γραμμή 19:
Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά e δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργο για λογαρίθμους από τον [[Τζον Νάπιερ]] (''John Napier''). Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Υποστηρίζεται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον William Oughtred. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] (''Jacob Bernoulli'') ο οποίος προσπάθησε να βρει την τιμή του από την ακόλουθη έκφραση (που είναι στην πραγματικότητα το e):
 
Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα  b, ήταν σε αντιστοιχία από τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] (Gottfried Leibniz) στον [[Κρίστιαν Χόυχενς]] (''Christiaan Huygens'') το  1690 και το 1691. Ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] (''Leonhard Euler'') εισήγαγε το γράμμα e ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον [[Κρίστιαν Γκόλντμπαχ]] (Christian Goldbach)  στις 25 Νοεμβρίου του 1731. Ο Όιλερ ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα e ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έγγραφο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια, και η πρώτη εμφάνιση του e σε μια δημοσίευση ήταν του EulerΌιλερ, Mechanicaμε τίτλο Μηχανική (1736, πρωτότυπος τίτλος: Mechanica). Ενώ στα επόμενα χρόνια κάποιοι ερευνητές χρησιμοποίησαν το γράμμα c, το e ήταν το πιο γνωστό και τελικά έγινε το πρότυπο.
 
== Εφαρμογές==
Γραμμή 30:
Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα ισχύει: (1+ 50%) = 1 + 0,5 = 1,5$ και τελικά στο τέλος του δευτέρου εξαμήνου προκύπτει: (1,5 + 50%) = 1,50 + 0,75 = 2,25 $  στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις  τριμηνιαίες αποδόσεις  είναι $ 1,00 × 1.254 = 2,4414 δολάρια ... και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 δολάρια ... Αν υπάρχουν n ίσα διαστήματα, ο τόκος για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι 1,00 € × (1 + 1 / n)^n.
 
Ο BernoulliΜπερνούλι παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία πλησιάζει το όριο (τη δύναμη του ενδιαφέροντος) με μεγαλύτερα n και, ως εκ τούτου, τα μικρότερα διαστήματα σύνθεσης. Υπολογίζοντας  την εβδομάδα (n = 52) αποδίδει 2,692597 δολάρια ..., ενώ υπολογίζοντας ημερησίως (n = 365) αποδίδει 2,714567 δολάρια ..., μόλις δύο λεπτά περισσότερο. Το όριο καθώς το n μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός  ως e! Mε συνεχή σύνθεση, η αξία του λογαριασμού θα φτάσει τα $ 2.7182818 .... Γενικότερα, ένας λογαριασμός που ξεκινάει από $ 1 και προσφέρει ετήσιο επιτόκιο R, μετά από t έτη, θα αποδίδει eRt δολάρια με συνεχείς υπολογισμούς. (Εδώ το R είναι ένα κλάσμα, έτσι για το επιτόκιο 5%, R = 5/100 =0,05)<ref>{{Cite web|url=http://diplographia.gr/wp-content/uploads/2016/06/anatokismos.pdf|title=Ο συνεχής ανατοκισμός και ο αριθμός e: ένα παρεξηγημένο θέμα|last=|first=|ημερομηνία=|website=|publisher=|archiveurl=|archivedate=|accessdate=}}</ref>
 
===Οι δοκιμές του Μπερνούλι===
Γραμμή 53:
 
=== Αναδιατάξεις ===
Άλλη μια εφαρμογή του e , επίσης ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Μπερνούλι μαζί με τον [[Πιερ Ραϊμόν ντε Μονμόρ]] (''Pierre Raymond de Montmort'') που είναι στο πρόβλημα της αναδιάταξης, γνωστό σαν το πρόβλημα "έλεγχος καπέλου". Αυτό είναι το εξής: ν επισκέπτες είναι προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι, στην πόρτα κάθε επισκέπτης ελέγχει το καπέλο του με τον μπάτλερ που τους τα τοποθετεί στη συνέχεια σε ν κουτιά, το καθένα από αυτά έχει πάνω το όνομα του κάθε επισκέπτη. Όμως ο μπάτλερ δεν γνωρίζει τα ονόματα των φιλοξενούμενων ,έτσι βάζει τα καπέλα στα κουτιά με τυχαίο τρόπο. Το πρόβλημα του ντε Μονμόρ είναι να βρει την πιθανότητα, ώστε κανένα από τα κάπελα να τοποθετηθεί στο σωστό κουτί. Η απάντηση είναι:
 
<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
Γραμμή 80:
<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).</math>
:
 
Το οριαόριο στα δεξιαδεξιά είναι ανεξαρτητοανεξάρτητο από την μεταβλητημεταβλητή χ .ΕξαρταταιΕξαρτάται μονομόνο από την βασηβάση α.Οταν Όταν η βασηβάση είναι ε, το οριοόριο είναι ισοίσο με 1, και έτσι το e είναι συμβολικά ορίζεται από την εξίσωση:
 
<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
Γραμμή 150 ⟶ 151 :
'''Συναρτήσεις σαν Εκθετικές'''
 
''Βλέπε επίσης: Steiner's[[πρόβλημα problemτου Στάινερ]]''
 
Το μέγιστο συνολικό όριο για τη συνάρτηση
Γραμμή 167 ⟶ 168 :
για κάθε n> 0. Η  άπειρη σειρά
 
συγκλίνει αν και μόνο αν ''e''<sup>−''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup> (ή περίπου μεταξύ 0.0660 και 1.4447), σύμφωνα με το θεώρημα του LeonhardΛέοναρντ EulerΌιλερ.
 
==Θεωρία των Αριθμών==
 
Ο πραγματικός αριθμός e είναι άρρητος. Ο EulerΌιλερ απέδειξε αυτό, δείχνοντας ότι η απλή συνέχιση της επέκτασης του κλάσματος είναι άπειρη.
 
Επιπλέον, από το θεώρημα LindemannΛίντεμαν-WeierstrassΒάιερστρας, το e είναι υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι μια λύση μιας οποιασδήποτε πολυωνυμικής μη σταθερής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι είναι υπερβατικός χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για το σκοπό αυτό (σε σύγκριση με τον αριθμό LiouvilleΛιουβίλ). Η απόδειξη δόθηκε από τον CharlesΤσαρλς HermiteΧέρμιτ το 1873.
 
Εικάζεται ότι το e είναι κανονικός αριθμός, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα (εμφανίζονται ισοπίθανα σε οποιαδήποτε δεδομένη ακολουθία πεπερασμένου μήκους).
 
== Μιγαδικοί αριθμοί ==
Η εκθετική συνάρτηση ''e<sup>x</sup>''  μπορεί να γραφεί ως μια σειρά TaylorΤέιλορ
 
<math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>
 
Επειδή αυτή η σειρά κρατά πολλές σημαντικές ιδιότητες για την'' e<sup>x</sup>'' ακόμη και όταν το x είναι σύνθετο, συνήθως χρησιμοποιείται για την επέκταση του ορισμού του ''e<sup>x</sup>'' με μιγαδικούς αριθμούς. Αυτό, με τη σειρά TaylorΤέιλορ για τα sin και cos x, επιτρέπει σε κάποιον να τα αντλήσει από τον τύπο του EulerΌιλερ:
 
<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!</math>
 
η οποία ισχύει για όλα τα x. Η ειδική περίπτωση x = π είναι η ταυτότητα του EulerΌιλερ:
 
<math>e^{i\pi} + 1 = 0\,\!</math>
Γραμμή 198 ⟶ 199 :
<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),</math>
 
ο οποίος είναι ο τύπος του deντε MoivreΜουάβρ.
 
Η έκφραση