E (μαθηματική σταθερά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
→Τυπική κανονική κατανομή: διαγραφή αγγλικου κειμένου |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 11:
Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, ο {{mvar|e}} μπορεί να οριστεί ως ο μοναδικός θετικός αριθμός {{mvar|a}}, τέτοιος ώστε το γράφημα της συνάρτησης {{math|1=''y'' = ''a''<sup>''x''</sup>}} έχει [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] ίση με {{math|1}} όταν {{math|1=''x'' = 0}}.<ref>{{cite book|title = Calculus|author = Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein|publisher = Springer|year = 1985|isbn = 0-387-90974-5|url=http://books.google.com/?id=KVnbZ0osbAkC&printsec=frontcover}}</ref> Η συνάρτηση {{math|1=''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}} ονομάζεται ''[[εκθετική συνάρτηση|εκθετική]]'' και η [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντίστροφή]] της είναι ο [[φυσικός λογάριθμος]] ή λογάριθμος με [[Βάση (μαθηματικά)|βάση]] το {{mvar|e}}. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού {{math|''k''}} μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως η [[Ολοκλήρωμα|περιοχή κάτω]] από την καμπύλη {{math|1=''y'' = 1/''x''}} μεταξύ {{math|1=''x'' = 1}} και {{math|1=''x'' = ''k''}}, όπου , το {{mvar|e}} είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι {{math|1}}. Υπάρχουν όμως περισσότεροι [[#Εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί|εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί]].
Αποκαλούμενος μερικές φορές ως '''αριθμός Όιλερ''' από τον [[Ελβετία|Ελβετό]] [[Μαθηματικός|μαθηματικό]] [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο {{mvar|e}} δεν πρέπει να συγχέεται με την {{mvar|γ}}, τη [[σταθερά
Ο αριθμός {{mvar|e}} είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά,<ref>{{cite book|title = An Introduction to the History of Mathematics|author = Howard Whitley Eves|year = 1969|publisher = Holt, Rinehart & Winston|isbn =0-03-029558-0}}</ref> μαζί με το [[0 (αριθμός)|{{math|0}}]], το [[1 (αριθμός)|{{math|1}}]], το [[π (μαθηματική σταθερά)|{{mvar|π}}]] και το [[Φανταστική μονάδα|{{mvar|i}}]]. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της [[Ταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητας του Όιλερ]]. Όπως και η σταθερά {{mvar|π}}, το {{mvar|e}} είναι [[άρρητος]], δηλ. δεν είναι λόγος [[Ακέραιος|ακεραίων]], και είναι [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικό]], δηλ. δεν είναι ρίζα ''κάθε'' μη-μηδενικού [[Πολυώνυμο|πολυώνυμου]] με [[Ρητός|ρητούς]] συντελεστές. Η αριθμητική αξία του {{mvar|e}} μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι {{math|2,71828182845904523536028747135266249775724709369995}}... (ακολουθία [https://oeis.org/A001113 A001113] στο OEIS).
Γραμμή 19:
Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά e δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργο για λογαρίθμους από τον [[Τζον Νάπιερ]] (''John Napier''). Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Υποστηρίζεται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον William Oughtred. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] (''Jacob Bernoulli'') ο οποίος προσπάθησε να βρει την τιμή του από την ακόλουθη έκφραση (που είναι στην πραγματικότητα το e):
Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα b, ήταν σε αντιστοιχία από τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] (Gottfried Leibniz) στον [[Κρίστιαν Χόυχενς]] (''Christiaan Huygens'') το 1690 και το 1691. Ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] (''Leonhard Euler'') εισήγαγε το γράμμα e ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον [[Κρίστιαν Γκόλντμπαχ]] (Christian Goldbach) στις 25 Νοεμβρίου του 1731. Ο Όιλερ ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα e ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έγγραφο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια, και η πρώτη εμφάνιση του e σε μια δημοσίευση ήταν του
== Εφαρμογές==
Γραμμή 30:
Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα ισχύει: (1+ 50%) = 1 + 0,5 = 1,5$ και τελικά στο τέλος του δευτέρου εξαμήνου προκύπτει: (1,5 + 50%) = 1,50 + 0,75 = 2,25 $ στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις τριμηνιαίες αποδόσεις είναι $ 1,00 × 1.254 = 2,4414 δολάρια ... και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 δολάρια ... Αν υπάρχουν n ίσα διαστήματα, ο τόκος για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι 1,00 € × (1 + 1 / n)^n.
Ο
===Οι δοκιμές του Μπερνούλι===
Γραμμή 53:
=== Αναδιατάξεις ===
Άλλη μια εφαρμογή του e , επίσης ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Μπερνούλι μαζί με τον [[Πιερ Ραϊμόν ντε Μονμόρ]] (''Pierre Raymond de Montmort'') που είναι στο πρόβλημα της αναδιάταξης, γνωστό σαν το πρόβλημα "έλεγχος καπέλου". Αυτό είναι το εξής: ν επισκέπτες είναι προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι, στην πόρτα κάθε επισκέπτης ελέγχει το καπέλο του με τον μπάτλερ που τους τα τοποθετεί στη συνέχεια σε ν κουτιά, το καθένα από αυτά έχει πάνω το όνομα του κάθε επισκέπτη. Όμως ο μπάτλερ δεν γνωρίζει τα ονόματα των φιλοξενούμενων ,έτσι βάζει τα καπέλα στα κουτιά με τυχαίο τρόπο. Το πρόβλημα του
<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
Γραμμή 80:
<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).</math>
:
Το
<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
Γραμμή 150 ⟶ 151 :
'''Συναρτήσεις σαν Εκθετικές'''
''Βλέπε επίσης:
Το μέγιστο συνολικό όριο για τη συνάρτηση
Γραμμή 167 ⟶ 168 :
για κάθε n> 0. Η άπειρη σειρά
συγκλίνει αν και μόνο αν ''e''<sup>−''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup> (ή περίπου μεταξύ 0.0660 και 1.4447), σύμφωνα με το θεώρημα του
==Θεωρία των Αριθμών==
Ο πραγματικός αριθμός e είναι άρρητος. Ο
Επιπλέον, από το θεώρημα
Εικάζεται ότι το e είναι κανονικός αριθμός, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα (εμφανίζονται ισοπίθανα σε οποιαδήποτε δεδομένη ακολουθία πεπερασμένου μήκους).
== Μιγαδικοί αριθμοί ==
Η εκθετική συνάρτηση ''e<sup>x</sup>'' μπορεί να γραφεί ως μια σειρά
<math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>
Επειδή αυτή η σειρά κρατά πολλές σημαντικές ιδιότητες για την'' e<sup>x</sup>'' ακόμη και όταν το x είναι σύνθετο, συνήθως χρησιμοποιείται για την επέκταση του ορισμού του ''e<sup>x</sup>'' με μιγαδικούς αριθμούς. Αυτό, με τη σειρά
<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!</math>
η οποία ισχύει για όλα τα x. Η ειδική περίπτωση x = π είναι η ταυτότητα του
<math>e^{i\pi} + 1 = 0\,\!</math>
Γραμμή 198 ⟶ 199 :
<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),</math>
ο οποίος είναι ο τύπος του
Η έκφραση
|