Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
 
== Ως περιγραφή της δομής του χώρου ==
Ο Ευκλείδης πίστευε ότι τα [[Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας|αξιώματά]] του ήταν αυτονόητες καταστάσεις σχετικά με την φυσική πραγματικότητα.Οι αποδείξεις του Ευκλείδη βασίζονταν πάνω σε παραδοχές οι οποίες ίσως να μην ήταν προφανείς στα θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη,<ref>Richard J. Trudeau (2008). "Euclid's axioms". [https://books.google.com/books?id=YRB4VBCLB3IC&pg=PA39 ''The Non-Euclidean Revolution'']. Birkhäuser. σελίδα. 39 ''ff''.[[Διεθνής πρότυπος αριθμός βιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8176-4782-1|0-8176-4782-1]].</ref> και πιο συγκεκριμένα ότι ορισμένες αριθμητικές κινήσεις δεν αλλάζουν τις γεωμετρικές τους ιδιότητες όπως τα μήκη των πλευρών και οι εσωτερικές γωνίες, οι λεγόμενες ''Ευκλείδειες κινήσεις'', οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφορές, ανακλάσεις και περιστροφές στοιχείων.<ref>CRC Press σελίδα 314, Springer σελίδα 60, Dover σελίδα 167</ref> Λαμβάνοντάς τα ως φυσικές περιγραφές του χώρου, το αξίωμα 2(επέκταση γραμμής) ισχυρίζεται ότι ο χώρος δεν έχει οπές ή όρια(με αλλά λόγια , ο χώρος είναι [[ομοιογενής]] και [[απεριόριστος]]), το αξίωμα 4 (ισότητα ορθών γωνιών) λέει ότι ο χώρος είναι [[ισοτροπικός]] και τα στοιχεία μπορούν να μετακινηθούν σε οποιαδήποτε τοποθεσία όσο διατηρούν μία μαθηματική [[Αναλογία (μαθηματικά)|αναλογία]] , και το αξίωμα 5 ([[παράλληλο αξίωμα]]) ότι ο χώρος είναι επίπεδος(δεν έχει καθόλου [[εγγενή καμπυλότητα]]).<ref>Roger Penrose (2007). [https://books.google.com/books?id=coahAAAACAAJ&dq=editions:cYahAAAACAAJ&hl=en&ei=i7DZTI62K46asAObz-jJBw&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=1&ved=0CCcQ6wEwAA ''The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe'']. Vintage Books. σελίδα. 29. [[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-679-77631-1|0-679-77631-1]].</ref>
 
Όπως θα δούμε και παρακάτω, η [[Θεωρία της Σχετικότητας]] του [[Άλμπερτ Αϊνστάιν|Αϊνστάιν]] τροποποιεί σημαντικά αυτή την θεωρία.
 
=== Σύγχρονα πρότυπα της λιτότητας ===
Η τοποθέτηση της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε μια σταθερή αξιωματική βάση ήταν μια ενασχόληση των μαθηματικών για αιώνες.Ο ρόλος των θεμελιωδών εννοιών,ή αλλιώς των απροσδιόριστων εννοιών εξελίχθηκε ξεκάθαρα από τον  [[Alessandro Padoa|Αλεσάντρο Παντοα]] από την αντιπροσωπεία του Peano στην σύσκεψη του 1900 στο Παρίσι.<ref>Μια λεπτομερής συζήτηση μπορεί να βρεθεί στο James T. Smith (2000)."Chapter 2: Foundations". [https://books.google.com/books?id=mWpWplOVQ6MC&pg=RA1-PA19 ''Methods of geometry'']. Wiley. pp. 19 ''ff''.[[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-471-25183-6|0-471-25183-6]].</ref><ref>Société française de philosophie (1900). [https://books.google.com/books?id=4aoLAAAAIAAJ&pg=PA592 ''Revue de métaphysique et de morale, Volume 8'']. Hachette.σελ.592</ref><blockquote>...όταν ξεκινήσουμε να διατυπώνουμε τη θεωρία,μπορούμε να φανταστούμε ότι τα ακαθόριστα σύμβολα είναι εντελώς άνευ νοήματος και ότι οι προτάσεις χωρίς απόδειξη είναι απλά όροι που επιβάλλονται επί των ακαθόριστων συμβόλων.</blockquote><blockquote>Έπειτα το σύστημα των ιδεών που έχουμε αρχικά επιλέξει είναι απλά μια ερμηνεία των ακαθόριστων συμβόλων,αλλά αυτή η ερμηνεία μπορεί να αγνοηθεί από τον αναγνώστη,ο ποίος είναι ελεύθερος να την αντικαταστήσει στο μυαλό του με μια άλλη ερμηνεία...η οποία πληροί τις προϋποθέσεις...</blockquote><blockquote>Έτσι,τα λογικά ερωτήματα γίνονται εντελώς ανεξάρτητα από τα εμπειρικά ή τα ψυχολογικά ερωτήματα...</blockquote><blockquote>Το σύστημα των ακαθόριστων συμβόλων μπορεί τότε να θεωρηθεί ως η αφαίρεση που λαμβάνεται από τις εξειδικευμένες θεωρίες που προκύπτουν όταν...το σύστημα των απροσδιόριστων συμβόλων αντικαθίσταται διαδοχικά από κάθε μία από τις ερμηνείες...</blockquote><blockquote>— Padoa, ''Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive qulelconque''</blockquote>Δηλαδή τα μαθηματικά είναι ανεξάρτητη γνώση μέσα σε ένα ιεραρχικό πλαίσιο.Όπως είπε ο  [[Μπέρτραντ Ράσελ]].<ref>Bertrand Russell (2000). "Mathematics and the metaphysicians". In James Roy Newman. [https://books.google.com/books?id=_b2ShqRj8YMC&pg=PA1577 ''The world of mathematics''] '''3''' (Ανατύπωση από Simon και Schuster 1956 ed.). Courier Dover Publications. σελ 1577. [[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-486-41151-6|0-486-41151-6]].</ref><blockquote>Αν η υπόθεσή μας είναι για το οτιδήποτε, και όχι για ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα πράγματα,τότε τα συμπεράσματά μας αποτελούν μαθηματικά. Έτσι, τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρουμε ποτέ για τι πράγμα μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.</blockquote><blockquote>—Μπέρτραντ Ράσελ ,''Τα Μαθηματικά και οι μεταφυσικοί''</blockquote>Τέτοιες θεμελιώδεις προσεγγίσεις κυμαίνονται μεταξύ του θεμελιωτισμού και του [[Φορμαλισμός|φορμαλισμού]].
 
=== Αξιωματικές διατυπώσεις ===
<blockquote>Η Γεωμετρία είναι η επιστήμη της ορθής συλλογιστικής σε ανακριβή στοιχεία</blockquote><blockquote>— George Polyá, ''How to Solve It'', p. 208<ref>Edwin E. Moise (1990). [https://books.google.com/books?cd=1&id=3UjvAAAAMAAJ&dq=isbn%3A9780201508673&q=Birkhoff#search_anchor ''Elementary geometry from an advanced standpoint''] (3rd ed.). Addison–Wesley. [[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-201-50867-2|0-201-50867-2]].</ref></blockquote>
* Αξίωμα του Ευκλείδη:Στην διατριβή του στο Trinity College,Cambridge, ο Bertrand Russell συνόψισε την αλλαγή του ρόλου της Ευκλείδειας γεωμετρίας στο μυαλό των φιλοσόφων μέχρι εκείνη την στιγμή.<ref>Bertrand Russell (1897). "Introduction". [https://books.google.com/books?id=NecGAAAAYAAJ&pg=PA1 ''An essay on the foundations of geometry'']. Cambridge University Press.</ref>Ήταν μια σύγκρουση μεταξύ μιας ορισμένης γνώσης,ανεξάρτητης από πειράματα,και εμπειρισμού που απαιτούσε την είσοδο πειραμάτων.Το θέμα αυτό έγινε σαφές ,αφού ανακαλύφθηκε ότι το [[αξίωμα των παραλλήλων]] δεν ήταν απαραίτητα έγκυρο και η δυνατότητα εφαρμογής του ήταν ένα εμπειρικό θέμα,να αποφασιστεί αν η εφαρμοστέα γεωμετρία ήταν Ευκλείδεια ή [[Μη ευκλείδεια γεωμετρία|μη Ευκλείδεια]].
* [[Αξιώματα Χίλμπερτ|Αξίωμα του Χίλμπερτ]]:Τα αξιώματα του Hilbert είχαν ως στόχο τον εντοπισμό ενός απλού και πλήρους συνόλου από ανεξάρτητα αξιώματα,από τα οποία θα μπορούσαν να συνταχθούν τα πιο σημαντικά γεωμετρικά θεωρήματα.Οι εκκρεμείς στόχοι ήταν να κάνουν την Ευκλείδεια γεωμετρία αυστηρή(αποφεύγοντας κρυμμένες υποθέσεις) και να καταστήσουν σαφείς τις επιπτώσεις του αξιώματος των παραλλήλων.
 
* [[Αξιωματα Birkhoff|Αξιώματα του Μπίρκοφ]]:Ο Birkhoff πρότεινε τέσσερα αξιώματα για Ευκλείδεια γεωμετρία που μπορούν να επιβεβαιωθούν πειραματικά με την κλίμακα και το μοιρογνωμόνιο.Αυτό το σύστημα στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιότητες των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]].<ref>George David Birkhoff, Ralph Beatley (1999). "Chapter 2: The five fundamental principles". [https://books.google.com/books?id=TB6xYdomdjQC&pg=PA38 ''Basic Geometry''] (3rd ed.). AMS Bookstore. pp. 38 ''ff''. [[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8218-2101-6|0-8218-2101-6]].</ref><ref>James T. Smith. "Chapter 3: Elementary Euclidean Geometry". [https://books.google.com/books?id=mWpWplOVQ6MC&pg=RA1-PA84 ''Cited work'']. pp. 84 ''ff''.</ref><ref>Edwin E. Moise (1990). [https://books.google.com/books?cd=1&id=3UjvAAAAMAAJ&dq=isbn%3A9780201508673&q=Birkhoff#search_anchor ''Elementary geometry from an advanced standpoint''] (3rd ed.). Addison–Wesley. [[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-201-50867-2|0-201-50867-2]].</ref>Οι έννοιες της γωνίας και της απόστασης γίνονται θεμελιακές.<ref>John R. Silvester (2001). "§1.4 Hilbert and Birkhoff". [https://books.google.com/books?id=VtH_QG6scSUC&pg=PA5 ''Geometry: ancient and modern'']. Oxford University Press. [[InternationalΔιεθνής Standardπρότυπος Bookαριθμός Numberβιβλίου|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-19-850825-5|0-19-850825-5]].</ref>
 
* [[Αξιώματα του Tarski|Αξιώματα του Τάρσκι]]:Ο Alfred Tarski(1902-1983) και οι μαθητές του προσδιόρισαν την στοιχειώδη Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη γεωμετρία που μπορεί να εφαρμοστεί σε [[Λογική πρώτου βαθμού|πρώτης-τάξης λογική]] και η λογική της βάση δεν εξαρτάται από [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],<ref name=Tarski0>{{cite book |chapter=Τι είναι η στοιχειώδης Γεωμετρία |author=Άλφρεντ Τάρσκι |quote=Θεωρούμε ως στοιχειώδη Γεωμετρία το κομμάτι εκείνο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που διατυπώθηκε χωρίς την βοήθεια κανενός μηχανισμού της θεωρίας συνόλων|url=https://books.google.com/books?id=eVVKtnKzfnUC&pg=PA16 |page=16 |isbn=1-4067-5355-6 |editor=Λέον Χένκιν, Πάτρικ Σάπες & Άλφρεντ Τάρσκι |publisher=Brouwer Press |year=2007 |title=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics – The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics |edition=Proceedings of International Symposium at Berkeley 1957–8; Reprint}}</ref>σε αντίθεση με τα αξιώματα του Hilbert,που περιλαμβάνουν σύνολα σημείων.<ref name=Simmons>{{cite book |title=Logic from Russell to Church |editors=Dov M. Gabbay, John Woods|chapter=Η λογική του Τάρσκι |author=Κίθ Σίμονς |page=574 |url=https://books.google.com/books?id=K5dU9bEKencC&pg=PA574 |isbn=0-444-51620-4 |year=2009 |publisher=Elsevier}}</ref>Ο Tarski απέδειξε ότι η αξιωματική διατύπωση της στοιχειώδους Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι συνεπής και πλήρης κατά μια ορισμένη έννοια:υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος,για κάθε πρόταση,μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθείς ή ψευδείς.<ref>Τάρσκι (1951)</ref> (Αυτό δεν παραβιάζει το [[Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ|Θεώρημα του Gödel]],επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.)<ref>Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8. Pp. 25–26.</ref>)Αυτό είναι ισοδύναμο με τον όρο decidability των πραγματικών κλειστών πεδίων,των οποίων η στοιχειώδης Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μοντέλο.
227.740

επεξεργασίες