Μέγεθος (μαθηματικά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Οι Έλληνες διέκριναν διάφορα είδη μεγέθους,<ref>{{cite book|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements |firstauthor=Thomas Smd.|last= Heath|authorlink=T. L. Heath|publisher=Dover Publications|year=1956|edition=2nd ed. [Facsimile. (Original publication: Cambridge University Press,) |year=1956|edition=2η |origyear=1925] |location=New York}}</ref> , συμπεριλαμβανομένων των:

Απέδειξαν ότι τα δύο πρώτα δεν θα ήταν δυνατό να είναι ίδια, ή ακόμη και [[Ισομορφισμός|ισομορφικ]]<nowiki/>ά συστήματα μεγέθους.<ref>{{citation|last=Bloch|first=Ethan D.|title=The Real Numbers and Real Analysis|url=https://books.google.com/books?id=vXw_AAAAQBAJ&pg=PA52 |year=2011 |quote=The idea of incommensurable pairs of lengths of line segments was discovered in ancient Greece |page=52 |publisher=Springer |isbn=9780387721774}}.</ref> Δεν θεωρούσαν τα αρνητικά μεγέθη να είναι ουσιαστικά, και ''το μέγεθος'' ακόμα χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου το μηδέν είναι είτε το μικρότερο μέγεθος ή το μικρότερο από όλα τα πιθανά μεγέθη.

Το μέγεθος κάθε [[Αριθμός|αριθμαριθμού]]<nowiki/>ού είναι συνήθως ονομάζεται "[[απόλυτη τιμή]]" ή "μέτρο", που συμβολίζεται με |''x''|.

Ένας [[μιγαδικός αριθμός]] '''z''' μπορεί να θεωρηθεί ως η θέση του σημείου '''P''' στο 2-διάστατο χώρο, που ονομάζεται [[μιγαδικό επίπεδο]]. Η απόλυτη τιμή ή το μέτρο του '''z''' μπορεί να θεωρηθεί ως η απόσταση του '''P''' από την αρχή του χώρου. Η φόρμουλα για την απόλυτη τιμή του '''z''' = '''a''' + '''bi''' είναι παρόμοια με εκείνη για την Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος σε ένα 2-διάστατο Ευκλείδειο χώρο:<ref>{{cite book|title=Complex Analysis|first=Lars V.|last=Ahlfors|publisher=McGraw Hill Kogakusha|dateyear=1953|location=Tokyo}}</ref>

Ένα [[Ευκλείδειο διάνυσμα]] αντιπροσωπεύει τη θέση ενός σημείου ''P'' σε έναν Ευκλείδειο χώρο. Γεωμετρικά, μπορεί να περιγραφεί ως ένα βέλος από την αρχή του χώρου (αρχή του διανύσματος σε αυτό το σημείο (πέρας διανύσματος). Με μαθηματική ακρίβεια, ένα διάνυσμα '''x''' σε ένα ''n''-διάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να οριστεί ως μια διατεταγμένη λίστα από ''n'' [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμο]]<nowiki/>ύς (οι [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων|Καρτεσιανές συντεταγμένες]] του ''P''): ''x'' = [''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'']. Το '''μέγεθος''' ή '''το μήκος''' είναι πιο συχνά ορίζεται ως η Ευκλείδεια νόρμα (ή Ευκλείδειο μήκος):<ref>{{Citation|last=Anton|first=Howard|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|year=2005|edition=9th9η|publisher=Wiley International}}</ref>

Η Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος είναι απλώς μια ειδική περίπτωση της [[Ευκλείδεια μετρική|ΕυκλείδειαΕυκλείδειας απόστασηαπόστασης]]<nowiki/>ς: η απόσταση μεταξύ της αρχής του και του πέρατός του. Δύο παρόμοια σύμβολα χρησιμοποιούνται για την Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος ''x'':

Μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει αντικείμενα στα μέτρα τους ονομάζεται νόρμα. Ένας [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικός χώρο]]<nowiki/>ς προικιμένος με μια νόρμα, όπως τον Ευκλείδειο χώρο, ονομάζεται νορμαρισμένος διανυσματικός χώρος.<ref>{{Citation|last=Golan |first=Johnathan S. |title=The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know |date=JanuaryΙανουάριος 2007 |edition=2nd2η |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-5494-5}}</ref> Δεν είναι όλοι οι διανυσματικοί χώροι νορμαρισμένοι.

Τάξεις μεγέθους υποδηλώνουν διαφορές σε αριθμητικές ποσότητες, συνήθως μετρήσεις, πολλπλάσια του 10, η διαφορά ενός ψηφίου στη θέση της υποδιαστολής.