Κωνική τομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 86:
Σκοπός μας είναι να αλλάξουμε την διεύθυνση των αξόνων κατά μια γωνία <math>\,\phi</math> τέτοια ώστε να απαλειφθεί ο όρος <math>\,x'y'</math>. Κατά συνέπεια θα υπολογίσουμε την γωνία <math>\,\phi</math> η οποία μηδενίζει τον συντελεστή του όρου <math>\,x'y'</math>, δηλαδή θέλουμε:
<center><math>\,2(C-A)\sin\phi\cos\phi+B(\cos^2\phi-\sin^2\phi)=(C-A)\sin2\phi+B\cos2\phi=(C-A)\tan2\phi+B=0</math></center>
<center><math>\,\tan2\phi=\dfrac{B}{A-C}</math></center>
και εφόσον πάντοτε μπορεί να βρεθεί <math>\,\phi</math> τέτοιο ώστε <math>\,\tan2\phi=\dfrac{B}{A-C}</math>
ο όρος <math>\,x'y'</math> μηδενίζεται και λαμβάνουμε:
<center><math>\,x'^2(A\cos^2\phi+C\sin^2\phi+B\sin\phi\cos\phi)+y'^2(A\sin^2\phi+C\cos^2\phi-B\sin\phi\cos\phi)+F'=0</math></center>
οπότε με απλοποίηση (παραλείποντας τις ' των μεταβλητών <math>\,x,y</math>) έχουμε:
<center><math>\,A'x^2+B'y^2+F'=0</math></center>
όπου
<center><math>\,A'=\dfrac{1}{2}\left[A+C+(A-C)\cos2\phi+B\sin2\phi\right]</math></center>
<center><math>\,B'=\dfrac{1}{2}\left[A+C-(A-C)\cos2\phi-B\sin2\phi\right]</math></center>
και αφού <math>\,\tan2\phi=\dfrac{B}{A-C}</math> προκύπτει ότι:
<center><math>\,\cos2\phi=\dfrac{A-C}{\sqrt{B^2+(A-C)^2}},</math></center>
<center><math>\,\sin2\phi=\dfrac{B}{\sqrt{B^2+(A-C)^2}}</math></center>
οπότε
<center><math>\,A'=\dfrac{1}{2}\left[A+C+\sqrt{B^2+(A-C)^2}\right]</math></center>
<center><math>\,B'=\dfrac{1}{2}\left[A+C-\sqrt{B^2+(A-C)^2}\right]</math></center>
και συνεπώς τελικά μπορούμε να γράψουμε:
<center><math>\,-\dfrac{A'}{F'}x^2-\dfrac{B'}{F'}y^2=1</math></center>
* Στην περίπτωση κατά την οποία <math>\,A',B',F'</math> έχουν ίδιο πρόσημο η εξίσωση είναι αδύνατη.
* Στην περίπτωση κατά την οποία <math>\,A',B'</math> έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή <math>\,A'B'<0 \iff B^2-4AC>0</math> η εξίσωση αντιπροσωπεύει υπερβολή.
* Στην περίπτωση κατά την οποία <math>\,A',B'</math> έχουν ίδιο πρόσημο αλλά <math>\,F'</math> έχει διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή <math>\,A'B'>0 \iff B^2-4AC>0</math> η εξίσωση αντιπροσωπεύει έλλειψη.
* Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία <math>\,A',B'</math> έχουν ίδιο πρόσημο, το <math>\,F'</math> έχει διαφορετικό πρόσημο αλλά επίσης <math>\,A'=B'</math> τότε η εξίσωση αντιπροσωπεύει κύκλο.
<center><math>\,</math></center>
| |||