Συνέχεια συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

=== Θεώρημα του Μπολζάνο ([[Ιταλικά|ιταλ.]] ''Bolzano''). ===

:=== Αν μια συνάρτηση <math> \textstyle f </math> ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει <math>f(a)\cdot f(b)<0 </math> , τότε υπάρχει ένα '''τουλάχιστον''' <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math> \textstyle f(\xi) = 0 </math>. ===

Γραφικά, το θεώρημα τουBolzano, Μπολζάνο σημαίνει ότι, αν η <math>\textstyle f </math> είναι συνεχής στο <math> \;\textstyle [a, b]</math> και <math>\textstyle f(a) \; , f(b) </math> ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της <math>\; f\;</math> τέμνει τον άξονα <math>\textstyle x'x</math> σε ένα '''τουλάχιστον''' σημείο μεταξύ των <math>\textstyle a, b </math>.

:Αν μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] είναι συνεχής σε αυτό, τότε υπάρχουν στοιχεία μ<math>x_1 και, Μx_2 στο\in [αa, βb]</math> τέτοια ώστε f(μ) = min(f) και f(Μ) = max(f).