Συνέχεια συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 33:
== Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων ==
=== Θεώρημα Bolzano (Μπολτσάνο). ===
=== Αν μια συνάρτηση <math> \textstyle f </math> ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει <math>f(a)\cdot f(b)<0 </math> , τότε υπάρχει ένα '''τουλάχιστον''' <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math> \textstyle f(\xi) = 0 </math>. ===
[[Αρχείο:Θεώρημα Bolzano.png|εναλλ.=|383x383εσ]]
Γραφικά, το θεώρημα Bolzano, σημαίνει ότι, αν η <math>\textstyle f </math> είναι συνεχής στο <math> \;\textstyle [a, b]</math> και <math>\textstyle f(a) \; , f(b) </math> ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της <math>\; f\;</math> τέμνει τον άξονα <math>\textstyle x'x</math> σε ένα '''τουλάχιστον''' σημείο μεταξύ των <math>\textstyle a, b </math>.
Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το <math>\xi</math> δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές για τις οποίες είναι <math>f(x)=0</math>, Εδώ είναι
<math>f(\xi)=f(\xi_1)=f(\xi_2)=0</math>
Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή : Αν υπάρχει <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math>f(\xi)=0</math> , τότε ούτε η <math>f</math> είναι υποχρεωτικά συνεχής στο <math>[a,b]</math> , ούτε οι <math>\textstyle f(a) \; , f(b) </math> είναι οπωσδήποτε ετερόσημοι.
=== Θεώρημα σταθερού σημείου ===
| |||