Συνέχεια συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μία συνάρτηση <math> \textstyle f </math> ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε <math> x_0 \in (a,b) </math> και <math>\; \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)\; , \; \lim_{x \to b^-}f(x)=f(b) </math>
 
== '''<u>Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων </u>'''==
 
=== Θεώρημα Bolzano (Μπολτσάνο). ===
=== Αν μια συνάρτηση <math> \textstyle f </math> ορισμένηείναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει ότι <math>f(a)\cdot f(b)<0 </math> , τότε υπάρχει ένα '''τουλάχιστον''' <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math> \textstyle f(\xi) = 0 </math>. ===
[[Αρχείο:Θεώρημα Bolzano.png|εναλλ.=|383x383εσ]]
 
Γραφικά, το θεώρημα Bolzano, σημαίνει ότι, αν η <math>\textstyle f </math> είναι συνεχής στο <math> \;\textstyle [a, b]</math> και <math>\textstyle f(a) \; , f(b) </math> ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της <math>\; f\;</math> τέμνει τον άξονα <math>\textstyle x'x</math> σε ένα '''τουλάχιστον''' σημείο μεταξύ των <math>\textstyle a, b </math>.
 
Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το <math>\xi</math> δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές για τις οποίες είναι <math>f(x)=0</math>,. Εδώ είναι
 
Εδώ είναι <math>f(\xi)=f(\xi_1)=f(\xi_2)=0</math>
 
Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή : Αν υπάρχει <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math>f(\xi)=0</math> , τότε ούτε η <math>f</math> είναι υποχρεωτικά συνεχής στο <math>[a,b]</math> , ούτε οι <math>\textstyle f(a) \; , f(b) </math> είναι οπωσδήποτε ετερόσημοι.
 
=== Θεώρημα σταθερού σημείου ===
'''<big>Αν <math>\;\textstyle f\;</math> συνάρτηση συνεχής στο <math> \;\textstyle [a, b]</math> με <math> \;\textstyle f:[a, b]\rightarrow [a,b]</math> , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον <math>\; \;\textstyle \xi \in [a, b]</math> , τέτοιο ώστε <math> \;\textstyle f(\xi)=\xi</math>.</big>'''
 
=== Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής ===
Το '''θεώρημα ενδιάμεσης τιμής''' βασίζεται στην αρχή της [[ακολουθία Κωσύ|πληρότητας]] και διατυπώνεται ως εξής:
:'''<big>Αν μια συνάρτηση <math> \textstyle f </math> είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math> με <math>f(a)\neq f(b)</math> , τότε για οποιοδήποτε <math>\textstyle \rho </math> μεταξύ των <math> \textstyle f(a) , f(b) </math> υπάρχει ένα τουλάχιστον <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math> \textstyle f(\xi) = \rho </math>.</big>'''
 
[[Αρχείο:ΘεωρΕνδΤιμων.png|εναλλ.=|387x387εσ]]
 
=== Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής ===
 
Το αντίστροφο και αυτού του θεωρήματος δεν ισχύει. Ακόμη, από το παραπάνω θεώρημα, δεν προκύπτει ότι οι τιμές της συνάρτησης <math>f</math> ανήκουν υποχρεωτικά στο <math> \textstyle [f(a) , f(b)] </math> ,
 
γιατί όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, υπάχουν τιμές του <math>\; \;\textstyle x \in [a, b]</math> , τέτοιες ώστε <math>f(x)=\mu</math> , αν και το <math>\mu</math> δεν είναι μεταξύ των <math> \textstyle f(a) , f(b) </math>.
 
=== Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. ===
Το '''θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής''' διατυπώνεται ως εξής:
:'''<big>Αν μία συνάρτηση <math>f</math> ορισμένηείναι σεσυνεχής έναστο κλειστό διάστημα <math>[αa, βb] είναι συνεχής σε αυτό</math>, τότε υπάρχουν <math>x_1 , x_2 \in [a,b]</math> τέτοια ώστε </big>'''
:'''<big><math>f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2),\forall x \in [a,b]</math></big>'''
 
Δηλαδή , οι τιμές <math>f(x_1)=m</math> και <math>f(x_2)=M</math> είναι αντιστοίχως, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της <math>f</math> στο <math>[a,b]</math>.
38

επεξεργασίες