Συνέχεια συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

{{μαθηματικές συναρτήσεις}}

Στα [[μαθηματικά]], μία [[συνάρτηση]] λέγεται '''συνεχής''' όταν μια μικρή μεταβολή στο [[Συνάρτηση#Ορολογία|όρισμά]] της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην [[συνάρτηση#Ορολογία|τιμή]] της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται στους [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμούς]] η [[γραφική παράσταση]] μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα (και όχι σε μία ένωση διαστημάτων) μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το [[μολύβι]] από το [[χαρτί]].

Μία συνάρτηση <math> \textstyle f </math> ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα <math> \;\textstyle [a, b]</math>, υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε <math> x_0 \in (a,b) </math> και <math>\; \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)\; , \; \lim_{x \to b^-}f(x)=f(b) </math>

 

 

[[Αρχείο:Θεώρημα Bolzano.png|εναλλ.=|383x383εσ]]

 

Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το <math>\xi</math> δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές για τις οποίες είναι <math>f(x)=0</math>.

 

 

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή : Αν υπάρχει <math>\; \xi\in (a,b)</math> τέτοιο ώστε <math>f(\xi)=0</math> , τότε ούτε η <math>f</math> είναι υποχρεωτικά συνεχής στο <math>[a,b]</math> , ούτε οι <math>\textstyle f(a) \; , f(b) </math> είναι οπωσδήποτε ετερόσημοι.

 

=== Θεώρημα σταθερού σημείου ===

 

=== Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής ===

Το '''θεώρημα ενδιάμεσης τιμής''' βασίζεται στην αρχή της [[ακολουθία Κωσύ|πληρότητας]] και διατυπώνεται ως εξής:

 

[[Αρχείο:ΘεωρΕνδΤιμων.png|εναλλ.=|387x387εσ]]

 

 

 

=== Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. ===

Το '''θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής''' διατυπώνεται ως εξής:

 

Δηλαδή , οι τιμές <math>f(x_1)=m</math> και <math>f(x_2)=M</math> είναι αντιστοίχως, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της <math>f</math> στο <math>[a,b]</math>.