E (μαθηματική σταθερά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|e}} (μαθηματική σταθερά)}}

Ο αριθμός '''{{mvar|e}}''' είναι σημαντική [[μαθηματική σταθερά]], η οποία αποτελεί τη βάση του [[Φυσικός λογάριθμος|φυσικού λογαρίθμου]]. Είναι περίπου ίση με {{math|2,71828}},<ref>[[Oxford English Dictionary]], 2η εκδ.: [http://oxforddictionaries.com/definition/english/natural%2Blogarithm natural logarithm]</ref> και είναι το [[Όριο ακολουθίας|όριο]] της ακολουθίας {{math|(1 + 1/''n'')^''n''}} όσο το {{mvar|n}} πλησιάζει το [[άπειρο]], μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων [[τόκος|τόκων]]. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως το άθροισμα της άπειρης [[Σειρά|σειράς]]<ref>Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D</ref>.

Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, ο {{mvar|e}} μπορεί να οριστεί ως ο μοναδικός θετικός αριθμός {{mvar|a}}, τέτοιος ώστε το γράφημα της συνάρτησης {{math|1=''y'' = ''a''^''x''}} έχει [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] ίση με {{math|1}} όταν {{math|1=''x'' = 0}}.<ref>{{cite book|title = Calculus|author = Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein|publisher = Springer|year = 1985|isbn = 0-387-90974-5|url=http://books.google.com/?id=KVnbZ0osbAkC&printsec=frontcover}}</ref> Η συνάρτηση {{math|1=''f''(''x'') = ''e''^''x''}} ονομάζεται ''[[εκθετική συνάρτηση|εκθετική]]'' και η [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντίστροφή]] της είναι ο [[φυσικός λογάριθμος]] ή λογάριθμος με [[Βάση (μαθηματικά)|βάση]] το {{mvar|e}}. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού {{math|''k''}} μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως η [[Ολοκλήρωμα|περιοχή κάτω]] από την καμπύλη {{math|1=''y'' = 1/''x''}} μεταξύ {{math|1=''x'' = 1}} και {{math|1=''x'' = ''k''}}, όπου , το {{mvar|e}} είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι {{math|1}}. Υπάρχουν όμως περισσότεροι [[#Εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί|εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί]].

Αποκαλούμενος μερικές φορές ως '''αριθμός Όιλερ''' από τον [[Ελβετία|Ελβετό]] [[Μαθηματικός|μαθηματικό]] [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο {{mvar|e}} δεν πρέπει να συγχέεται με την {{mvar|γ}}, τη [[σταθερά Όιλερ–Μασκερόνι]] που μερικές φορές αναφέρεται απλά ''σταθερά Όιλερ''. Ο αριθμός {{mvar|e}} είναι επίσης γνωστός ως '''σταθερά του Νέιπιερ''', αλλά η επιλογή του Όιλερ του συμβόλου {{mvar|e}} λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του.<ref name="mathworld">{{cite web|last=Sondow|first=Jonathan|title=e|url=http://mathworld.wolfram.com/e.html|work=[[MathWorld|Wolfram Mathworld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|accessdate=10 May 2011}}</ref> Ο {{mvar|e}} ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] όταν μελετούσε σύνθετους τόκους.

Ο αριθμός {{mvar|e}} είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά,<ref>{{cite book|title = An Introduction to the History of Mathematics|author = Howard Whitley Eves|year = 1969|publisher = Holt, Rinehart & Winston|isbn =0-03-029558-0}}</ref> μαζί με το [[0 (αριθμός)|{{math|0}}]], το [[1 (αριθμός)|{{math|1}}]], το [[π (μαθηματική σταθερά)|{{mvar|π}}]] και το [[Φανταστική μονάδα|{{mvar|i}}]]. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της [[Ταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητας του Όιλερ]]. Όπως και η σταθερά {{mvar|π}}, το {{mvar|e}} είναι [[άρρητος]], δηλ. δεν είναι λόγος [[Ακέραιος|ακεραίων]], και είναι [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικό]], δηλ. δεν είναι ρίζα ''κάθε'' μη-μηδενικού [[Πολυώνυμο|πολυώνυμου]] με [[Ρητός|ρητούς]] συντελεστές. Η αριθμητική αξία του {{mvar|e}} μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι {{math|2,71828182845904523536028747135266249775724709369995}}... (ακολουθία [https://oeis.org/A001113 A001113] στο OEIS).