Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
διόρθωση λέξεων και τονισμών
μ (διόρθωση λέξεων και τονισμών)
 
[[File:Integral-area-under-curve.svg|thumb|Το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.]]
 
Στα [[Μαθηματικά]], το [[ολοκλήρωμα]] μιας μη αρνητικής [[συνάρτηση]]ς μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το [[εμβαδό]] μεταξύ της [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφικής παράστασης]] της συνάρτησης και τον άξονα των {{math|''x''}}. '''Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ''' είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές, αρκετά λείες (αρκετά μεγάλης κλάσης διαφορισιμότητας) συναρτήσεις (όπως οι [[συνέχεια συνάρτησης|συνεχείς συναρτήσεις]] ορισμένες σε κλειστά και [[φράγμα|φραγμένα]] [[διάστημα|διαστήματα]]) το ''εμβαδό κάτω από την καμπύλη'' μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με [[πολύγωνο|πολύγωνα]]. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη [[Θεωρία πιθανοτήτων]]), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωσηολοκλήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.
 
Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική [[Μαθηματική Ανάλυση|Ανάλυση]], καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.
 
Ο όρος "ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ" μπορεί να αναφέρεται, είτε γενικά στη θεωρία της ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς ένα γενικό [[Θεωρία μέτρου|μέτρο]], όπως παρουσιάστηκε από τον Λεμπέγκ, ή στην ειδική περιπτωσηπερίπτωση που το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ορίζεται πάνω σε ένα υποσύνολο τού άξονα των πραγματικών αριθμών ως προς το [[μέτρο Λεμπέγκ]].
 
== Εισαγωγή ==
Κατά το δέκατο ένατο αιώνα, έγιναν προσπάθειες να στηθεί ο Ολοκληρωτικός Λογισμός σε μια πιο αυστηρή βάση, στα πλαίσια μιας γενικότερης αυστηροποίησης των μαθηματικών. Το [[Μπέρναρντ Ρίμαν|Ρίμαν]] ολοκλήρωμα, είναι μια επιτυχημένη τέτοια προσπάθεια που βοηθά στην επίτευξη αυτού τού στόχου. Ο ορισμός που έδωσε ο Ρίμαν, ξεκινά με την κατασκευή μιας ακολουθίας εμβαδών, που εύκολα υπολογίζονται, η οποία συγκλίνει στο ολοκλήρωμα μιας δοσμένης συνάρτησης. Αυτός ο ορισμός είναι επιτυχημένος, με την έννοια ότι δίνει την αναμενόμενη απάντηση σε ήδη λυμένα προβλήματα, καθώς και χρήσιμα αποτελέσματα σε πολλά άλλα προβλήματα.
 
Ωστόσο, η Ολοκλήρωση κατά Ρίμαν δεν αλληλεπιδρά καλά με τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων, πράγμα που καθιστά δύσκολη την ανάλυση τέτοιων διαδικασιών. Αυτή είναι πρεωτεύουσαςπρωτεύουσας σημασίας σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα στην [[Ανάλυση Φουριέ]]. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ μπορεί καλύτερα να περιγράψει κάτω από ποιές συνθήκες μπορεί το ολοκλήρωμα να βγει έξω από το όριο, με τα ισχυρά θεωρήματα της [[Μονοτονία συνάρτησης|Μονότονης]] Σύγκλισης και της Κυριαρχούμενης Σύγκλισης. Ο ορισμός τού Λεμπέγκ, σε αντίθεση με τού Ρίμαν, θεωρεί μια άλλη κατηγορία εύκολα υπολογίσιμων εμβαδών και γι' αυτό το λόγο το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ συμπεριφέρεται καλύτερα. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ καθιστά δυνατό τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων για μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση τού Ντίριχλετ, η οποία είναι 0 όταν το όρισμά της είναι [[Άρρητος αριθμός|άρρητος]] και 1 όταν είναι [[Ρητός αριθμός|ρητός]], ενώ δεν είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, είναι Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμά της ισούται με 0.
 
Η προσέγγιση τού Λεμπέγκ για το ολοκλήρωμα συνοψίζεται σε ένα γράμμα του, όπου γράφει:
:<math>\int_E f \, d\mu = \sup\left\{\,\int_E s\, d\mu : 0 \le s \le f,\ s\ \text{simple}\,\right\}.</math>
 
Αποδεικνύεται πως αυτό το το ολοκλήρωμα συμπίπτει με το προηγούμενο. Επίσης, όταν το {{math|''E''}} είναι διάστημα της μορφής [''a'',&nbsp;''b''], το ολοκήρωμαολοκλήρωμα ισούται με ολοκλήρωμα Ρίμαν.
Ορίσαμε λοιπόν, το ολοκήρωμαολοκλήρωμα της {{math|''f''}} για όλες τις μη-αρνητικές επεκτεταμένες πραγματικές μετρήσιμες συναρτήσεις στο {{math|''E''}}. Για κάποιες συναρτήσεις, το ολοκλήρωμα είναι άπειρο.
We have defined the integral of ''f'' for any non-negative extended real-valued measurable function on&nbsp;''E''. For some functions, this integral&thinsp; ∫<sub>''E''</sub>&nbsp;''f''&nbsp;dμ&thinsp; will be infinite.
 
Είναι δυνατό να αναπτύξουμε ένα ολοκλήρωμα με βάση το μέτρο Lebesque χωρίς να βασιστούμε στον πλήρη μηχανισμό της θεωρίας μέτρου. Μία ακόμα προσέγγιση είναι να παραχθεί από το [[ολοκλήρωμα Daniell]].
Υπάρχει επίσης μια εναλλακτική προσέγγιση να αναπτύξουμε την θεωρία ολοκλήρωσης με μεθόδους [[συναρτησιακής ανάλυσης]].
Το ολοκλήρωμα Riemann υπάρχει για οποιασδήποτε συνεχής συμπαγή συναρτήσησυνάρτηση {{math|''f''}} που ορίζονται για {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} (ή ένα σταθερό ανοικτό υποσύνολο).
Ολοκληρώματα των πιο γενικών συναρτήσεων μπορούν να κατασκευαστούν ξεκινώντας από αυτά τα ολοκληρώματα.
Έστω {{math|''C<sub>c</sub>''}}, ο χώρος όλων των πραγματικών τιμών συμπαγών συνεχών συναρτήσεων του ℝ. Ορίζουμε ένα πρότυπο
{{math|∫}} είναι [[ομοιόμορφα συνεχής]] συνάρτηση με τη νόρμα {{math|''C<sub>c</sub>''}}, η οποία είναι πυκνή με την {{math|''L''<sup>1</sup>}}. Ως εκ τούτου, το {{math|∫}} έχει μοναδική επέκταση σε όλο το {{math|''L''<sup>1</sup>}}. Αυτό το ολοκλήρωμα είναι ακριβώς το ολοκλήρωμα Lebesgue.
 
Γενικότερα, όταν ο χώρος μέτρου στον οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις είναι επίσης ένας [[τοπολογικά συμπαγής χώρος|τοπολογικά συμπαγής]] [[τοπολογικός χώρος]] (όπως στην περίπτωση του ℝ), είναι συμβατός με την τοπολογία σε κατάλληλη περίπτωση ([[μέτρο του Radon]], του οποίου το μέτρο Lebesgue είναι ένα παράδειγμα) ένα ολοκλήρωμα που ακολουθεί τα παραπάνω μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από τα ολοκληρώματα των [[συνεχών συναρτήσεων]] με [[support (mathematics)#Compact support|συμπάγεια]]. Πιο συγκεκριμένα, οι συμπαγείς συναρτήσεις οι οποίες αποτελούν [[διανυσματικό χώρο]] που μεταφέρει μία φυσική [[topological space|topology]], και ένα (Radon) μέτρο ορίζεται ως συνεχής [[linear map|γραμμική]] συνάρησησυνάρτηση στο χώρο αυτό. Η τιμή του μέτρου μίας συμπαγούς συνάρτησης είναι εξ'ορισμού το ολοκλήρωμα της συνάρτησης. Αυτό προχωρά ώστε να επεκτείνει το μέτρο (το ολοκλήρωμα) σε γενικότερες συναρτήσεις μέσω της συνέχειας, και ορίζει το μέτρο ενός συνόλου ως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης δείκτη του. Αυτή είναι μια προσέγγιση του {{Harvtxt|Bourbaki|2004}} και ενός πλήθους άλλων συγγραφέων. Για περισσότερες πληροφορίες κοιτάξτε [[Radon measure#Radon measures on locally compact spaces|Radon measures]].
 
== Δείτε επίσης ==
6

επεξεργασίες