Κλάσμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Προσθήκη Μεικτού Αριθμού |
1) Εισαγωγή του Μεικτού Αριθμού, 2) Μετατροπή σε δεκαδικό, 3) Απλοποίηση |
||
Γραμμή 1:
[[Αρχείο:Fraction in greek.svg|thumb|right|Τα κλάσματα]]
[[Αρχείο:Cake quarters.svg|thumb|right|Παράδειγμα κλασμάτων σε μία τούρτα]]
Το '''Κλάσμα'''
Όπως και όλοι οι αριθμοί, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Ειδικοί κανόνες ισχύουν για την [[πρόσθεση]] και την [[αφαίρεση]], όπου για να μπορέσει να εκτελεστεί η πράξη πρέπει τα κλάσματα να είναι ''ομώνυμα'', δηλαδή να έχουν ίδιο παρονομαστή, κάτι που επιτυγχάνεται με πολλαπλασιασμό των όρων των κλασμάτων με τον κατάλληλο αριθμό ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το [[ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]] τους. Ο [[πολλαπλασιασμός]] γίνεται με πολλαπλασιασμό των ομόλογων όρων (αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές) ενώ η [[διαίρεση]] μέσω της [[απλοποίηση σύνθετου κλάσματος|απλοποίησης σύνθετου κλάσματος]] ή, πιο απλά, με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του κλάσματος που αποτελεί το διαιρέτη.
Γραμμή 24:
Τα κλάσματα μπορούν να διαχωρισθούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Αυτά τα κλάσματα ονομάζονται συνήθως "Κανονικά Κλάσματα" (στην ξένη βιβλιογραφία αναφέρονται ως proper fractions). Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής είναι μικρότερος από τον αριθμητή. Αυτά τα κλάσματα αναπαριστούν ποσότητες μεγαλύτερες από τη μονάδα και γι' αυτό μερικές φορές καλούνται μη κανονικά κλάσματα (improper fractions). Για παράδειγμα τα κλάσματα <math>\frac{1}{2}, \frac{5}{12}</math> είναι κανονικά κλάσματα, ενώ τα <math>\frac{13}{4}, \frac{5}{3}</math> μη κανονικά. Γενικότερα, αν λάβουμε υπ' όψη και την περίπτωση των αρνητικών κλασμάτων, κανονικά κλάσματα θεωρούνται αυτά που αναπαριστούν αριθμούς μεγαλύτερους του -1 και μικρότερους του 1.
Σε κάποιες περιπτώσεις, προτιμάται η χρήση των μεικτών αριθμών αντί για μη κανονικά κλάσματα. '''Μεικτός αριθμός''' ονομάζεται ο αριθμός που αποτελείται από ένα ζεύγος ενός μη μηδενικού ακέραιου αριθμού και ενός κανονικού κλάσματος. Το σύμβολο της πρόσθεσης μεταξύ των δύο αυτών όρων παραλείπεται. Για παράδειγμα ο μεικτός αριθμός <math>2\frac{1}{3}</math> εκφράζει την ποσότητα "δύο και ένα τρίτο", δηλαδή <math>2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}</math>. Κάθε μη κανονικό κλάσμα μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια αυτού του συμβολισμού. Αρκεί να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή και να πάρουμε το πηλίκο και το υπόλοιπο. Για παράδειγμα, στο κλάσμα <math>\frac{25}{4}</math> η διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή θα δώσει πηλίκο
<math>\frac{25}{6} = \frac{6\cdot 4 + 1}{6} = \frac{6\cdot 4}{6} + \frac{1}{6} = 4 + \frac{1}{6} = 4\frac{1}{6}</math>
Αντίστροφα κάθε μεικτός αριθμός μπορεί να γραφεί ως ένα απλό (μη κανονικό) κλάσμα αν εκτελεστεί η πράξη της πρόσθεσης. Για παράδειγμα
<math>4\frac{1}{6} = 4 + \frac{1}{6} = \frac{6\cdot 4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6\cdot 4 + 1}{6} = \frac{25}{6}</math>
== Αριθμητική Κλασμάτων ==
Τα κλάσματα αποτελούν το σύνολο των ρητών αριθμών. Πιο συγκεκριμένα το σύνολο των ρητών ορίζεται ως εξής:
<math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{\mu}{\nu}, \;\mu\in\mathbb{Z},\; \nu\in\mathbb{N}^*\right\}</math>
Παρότι στον παραπάνω ορισμό θεωρούμε ότι ο παρονομαστής είναι μη μηδενικός φυσικός αριθμός (και όχι ακέραιος) είναι προφανές ότι ακόμη και αν βάλουμε ως παρονομαστή έναν αρνητικό ακέραιο αριθμό, τότε αρκεί να αλλάξουμε το πρόσημο του αριθμητή για να εντάξουμε τον συγκεκριμένο αριθμό στο σύνολο των ρητών (για παράδειγμα <math>\frac{2}{-3} = \frac{-2}{3}</math>). Στο σύνολο των ρητών αριθμών μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι οποίες ικανοποιούν τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι πράξεις και στους ακεραίους ([[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]], [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]] και [[επιμεριστική ιδιότητα]]).
=== Μετατροπή σε Δεκαδικό Αριθμό ===
Κάθε κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε έναν δεκαδικό αριθμό αν διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή εφαρμόζοντας τον κλασσικό αλγόριθμο της [[Κάθετη διαίρεση|κάθετης διαίρεσης]]. Για παράδειγμα, το κλάσμα <math>\frac{13}{25}</math> δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.52. Πολύ συχνά, η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί γιατί το υπόλοιπο δεν γίνεται ποτέ ίσο με το 0. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, μπορούμε να βρούμε μια περιοδικότητα στα ψηφία του δεκαδικού αριθμού. Για παράδειγμα, το κλάσμα <math>\frac{11}{15}</math> δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.7333... Σε αυτή την περίπτωση η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί ποτέ, αλλά παρατηρούμε ο αριθμός 3 επαναλαμβάνεται επ' άπειρον.
=== Απλοποίηση Κλάσματος ===
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στον ορισμό των ισοδύναμων κλασμάτων μπορούμε μια συγκεκριμένη αριθμητική ποσότητα να την εκφράσουμε με πολλά ίσα κλάσματα. Αυτό μπορεί να γίνει πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιονδήποτε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό. Συνήθως, σε ένα κλάσμα με μεγάλους αριθμούς στις θέσεις του αριθμητή και του παρονομαστή εφαρμόζουμε τη διαδικασία της απλοποίησης διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους ώστε να προκύψει το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα (π.χ. <math>\frac{6}{15}=\frac{6\div3}{15\div3}=\frac{2}{5}</math>). Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση του κλάσματος αφού το νέο κλάσμα που προκύπτει έχει την ίδια αριθμητική τιμή, αλλά απλούστερα νούμερα.
== Παραπομπές ==
| |||