Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Κλάσμα»

1.564 bytes προστέθηκαν ,  πριν από 9 μήνες
μ
Μετατροπή Δεκαδικού σε κλάσμα + Παραπομπή
(1) Εισαγωγή του Μεικτού Αριθμού, 2) Μετατροπή σε δεκαδικό, 3) Απλοποίηση)
μ (Μετατροπή Δεκαδικού σε κλάσμα + Παραπομπή)
 
== Αριθμητική Κλασμάτων ==
Τα κλάσματα αποτελούν το σύνολο των ρητών αριθμών. Πιο συγκεκριμένα το σύνολο των ρητών<ref>{{Cite book|title=Απειροστικός Λογισμός|first=Στυλιανός|last=Νεγρεπόντης|first2=Σταύρος|last2=Γιωτόπουλος|first3=Ευστάθιος|last3=Γιαννακούλιας|publisher=Αίθρα|isbn=960-7007-10-7|year=1992|location=Αθήνα|page=20}}</ref> ορίζεται ως εξής:
 
<math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{\mu}{\nu}, \;\mu,\nu\in\mathbb{Z},\; \nu\in\mathbb{N}^*not=0\right\}</math> .
 
Παρότι στον παραπάνω ορισμό θεωρούμε ότι ο παρονομαστής είναι μη μηδενικός φυσικός αριθμός (και όχι ακέραιος) είναι προφανές ότι ακόμη και αν βάλουμε ως παρονομαστή έναν αρνητικό ακέραιο αριθμό, τότε αρκεί να αλλάξουμε το πρόσημο του αριθμητή για να εντάξουμε τον συγκεκριμένο αριθμό στο σύνολο των ρητών (για παράδειγμα <math>\frac{2}{-3} = \frac{-2}{3}</math>). Στο σύνολο των ρητών αριθμών μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι οποίες ικανοποιούν τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι πράξεις και στους ακεραίους ([[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]], [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]] και [[επιμεριστική ιδιότητα]]).
 
Παρότι στον παραπάνω ορισμό θεωρούμε ότι ο παρονομαστής είναι μη μηδενικός φυσικός αριθμός (και όχι ακέραιος) είναι προφανές ότι ακόμη και αν βάλουμε ως παρονομαστή έναν αρνητικό ακέραιο αριθμό, τότε αρκεί να αλλάξουμε το πρόσημο του αριθμητή για να εντάξουμε τον συγκεκριμένο αριθμό στο σύνολο των ρητών (για παράδειγμα <math>\frac{2}{-3} = \frac{-2}{3}</math>). Στο σύνολο των ρητών αριθμών μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι οποίες ικανοποιούν τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι πράξεις και στους ακεραίους ([[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]], [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]] και [[επιμεριστική ιδιότητα]]).
=== Μετατροπή σε Δεκαδικό Αριθμό ===
Κάθε κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε έναν δεκαδικό αριθμό αν διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή εφαρμόζοντας τον κλασσικό αλγόριθμο της [[Κάθετη διαίρεση|κάθετης διαίρεσης]]. Για παράδειγμα, το κλάσμα <math>\frac{13}{25}</math> δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.52. Πολύ συχνά, η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί γιατί το υπόλοιπο δεν γίνεται ποτέ ίσο με το 0. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, μπορούμε να βρούμε μια περιοδικότητα στα ψηφία του δεκαδικού αριθμού. Για παράδειγμα, το κλάσμα <math>\frac{11}{15}</math> δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.7333... Σε αυτή την περίπτωση η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί ποτέ, αλλά παρατηρούμε ο αριθμός 3 επαναλαμβάνεται επ' άπειρον.
 
=== Μετατροπή Δεκαδικού Αριθμού σε Κλάσμα ===
Αντιστρόφως κάθε δεκαδικός αριθμός, με πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, μπορεί εύκολα να γίνει κλάσμα. Για παράδειγμα ο αριθμός 12.345 μπορεί να γραφεί ως: <math>12.345 = \frac{12345}{1000}</math>. Η διαδικασία μετατροπής είναι πολύ απλή. Αρκεί να βάλουμε στον αριθμητή τον αριθμό χωρίς υποδιαστολή και στον παρονομαστή το 1 με τόσα μηδενικά όσα τα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής.
 
Στην περίπτωση ενός περιοδικού δεκαδικού αριθμού με άπειρα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής (τα οποία όμως έχουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο) η διαδικασία είναι κάπως πιο περίπλοκη. Το παρακάτω παράδειγμα δίνει ένα γενικό περίγραμμα αυτής της διαδικασίας. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ο αριθμός 12.3456565656... Αρχικά εργαζόμαστε με το περιοδικό μέρος ως εξής:
 
<math>\begin{align}
x &= 0.56565656... \\
100x &= 56.565656..\\
100x &= 56 + 0.56565656...\\
100x &= 56 + x\\
99x &= 56\\
x &= \frac{56}{99}
\end{align}</math>
 
Στη συνέχεια γράφουμε
 
<math>\begin{align}
12.34565656.. &= 12.34 + 0.00565656... = 12.34 + \frac{x}{100} = \frac{1234}{100} + \frac{\frac{56}{99}}{100}
= \frac{1234}{100} + \frac{56}{9900} \\
&= \frac{1234\cdot 99}{100\cdot 99} + \frac{56}{9900} = \frac{122166}{9900} + \frac{56}{9900} = \frac{122222}{9900}
\end{align}</math>
 
=== Απλοποίηση Κλάσματος ===
68

επεξεργασίες