Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Κλάσμα»

976 bytes προστέθηκαν ,  πριν από 9 μήνες
Προσθήκη Αντιστροφής Κλάσματος
(προσθήκη: Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων)
(Προσθήκη Αντιστροφής Κλάσματος)
 
Στο σύνολο των ρητών αριθμών μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι οποίες ικανοποιούν τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι πράξεις και στους ακεραίους ([[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]], [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]] και [[επιμεριστική ιδιότητα]]).
 
=== Απλοποίηση Κλάσματος ===
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στον ορισμό των ισοδύναμων κλασμάτων μπορούμε μια συγκεκριμένη αριθμητική ποσότητα να την εκφράσουμε με πολλά ίσα κλάσματα. Αυτό μπορεί να γίνει πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιονδήποτε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό. Συνήθως, σε ένα κλάσμα με μεγάλους αριθμούς στις θέσεις του αριθμητή και του παρονομαστή εφαρμόζουμε τη διαδικασία της απλοποίησης διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το [[Μέγιστος κοινός διαιρέτης|Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη]] τους ώστε να προκύψει το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα (π.χ. <math>\frac{6}{15}=\frac{6\div3}{15\div3}=\frac{2}{5}</math>). Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση του κλάσματος αφού το νέο κλάσμα που προκύπτει έχει την ίδια αριθμητική τιμή, αλλά απλούστερα νούμερα.
 
=== Σύγκριση Κλασμάτων ===
Γενικά, για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα αυτά θα πρέπει να είναι ομώνυμα, να έχουν δηλαδή τον ίδιο παρονομαστή. Τότε, ότι σχέση ανισότητας ισχύει για τους αριθμητές, θα ισχύει και για ολόκληρα τα κλάσματα. Για παράδειγμα ισχύουν οι ανισώσεις:
 
Μερικές φορές η σύγκριση μεταξύ δύο κλασμάτων μπορεί να γίνει και με άλλους τρόπους. Για παράδειγμα, αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, τότε μεγαλύτερο θα είναι το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή.
 
=== Πρόσθεση - Αφαίρεση Κλασμάτων ===
Για να προσθέσουμε δύο κλάσματα θα πρέπει αυτά να είναι ομώνυμα. Τότε, το αποτέλεσμα θα είναι το κλάσμα με αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή τον κοινό παρονομαστή των δύο κλασμάτων. Για παράδειγμα: <math>\frac{2}{13} + \frac{5}{13} = \frac{2+5}{13} = \frac{7}{13}</math>. Κατ' αναλογία εκτελείται και η αφαίρεση: <math>\frac{2}{13} - \frac{5}{13} = \frac{2-5}{13} = \frac{-3}{13} = -\frac{3}{13}</math>.
 
Στην περίπτωση που θέλουμε να προσθέσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία μετατρέποντας τον ακέραιο αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Για παράδειγμα: <math>2 + \frac{3}{5} = \frac{2}{1} + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}.</math>
 
=== Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων ===
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές ξεχωριστά. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα που έχει ως αριθμητή το γινόμενο των δύο αριθμητών και ως παρονομαστή το γινόμενο των δύο παρονομαστών. Για παράδειγμα:
Για να πολλαπλασιάσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, εφαρμόζουμε τον ίδιο κανόνα, μετατρέποντας τον ακέραιο αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Για παράδειγμα: <math>2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2\cdot 3}{1\cdot 5} = \frac{6}{5}.</math> Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση πολλαπλασιάζεται ο αριθμητής του κλάσματος με τον ακέραιο αριθμό, χωρίς να αλλάζει ο παρονομαστής.
 
=== Αντιστροφή Κλάσματος. ===
Αντίστροφο ενός δοσμένου κλάσματος ονομάζεται το κλάσμα που αν πολλαπλασιαστεί με το αρχικό δίνει αποτέλεσμα ίσο με τη μονάδα. Όλοι οι ρητοί αριθμοί εκτός από το 0 έχουν αντίστροφο. Το αντίστροφο κλάσμα έχει αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος και παρονομαστή ίσο με τον αριθμητή του αρχικού κλάσματος. Για παράδειγμα το αντίστροφο του <math>\frac{2}{3}</math> είναι το <math>\frac{3}{2}</math>, το αντίστροφο του <math>\frac{1}{3}</math> είναι το <math>\frac{3}{1} = 3</math>, ενώ το αντίστροφο του <math>5 = \frac{5}{1}</math> είναι το <math>\frac{1}{5}</math>.
 
=== Μετατροπή σε Δεκαδικό Αριθμό ===
68

επεξεργασίες