|
}}
'''Παραγ
'''Παραγοντοποίηση''' είναι στα [[μαθηματικά]] η διαδικασία κατά την οποία μια [[αλγεβρική παράσταση]] μετατρέπεται από άθροισμα σε [[γινόμενο]]. Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται '''παράγοντες''' και όταν πολλαπλασιαστούν μαζί δίνουν την αρχική παράσταση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται '''ανάλυση'''. Συνήθως η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων,για την απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων και για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου ή ανώτερου βαθμού. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποίησης, η ''παραγοντοποίηση [[φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] (σε [[πρώτος αριθμός|πρώτους παράγοντες]])'' και η ''παραγοντοποίηση [[πολυώνυμο|πολυωνύμων]]''.
Σύμφωνα με το [[θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]] κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 παραγοντοποιείταιντοποιείται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Δηλαδή σε αυτό το είδος δίνεται ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1, ενώ ζητείται να βρεθούν [[πρώτοι αριθμοί]] β<sub>1</sub>,β<sub>2</sub>,β<sub>3</sub>...,β<sub>ν</sub> τέτοιοι, ώστε να ισχύει: <math>\alpha=\beta_1\cdot\beta_2\cdot\beta_3\cdot...\beta_\nu</math> ▼
==Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών==
[[File:Παραγοντοποίηση πρώτων.svg|μικρογραφία|70px|Η διάταξη με την οποία γίνεται η παραγοντοποίηση στο χέρι.]]
▲Σύμφωνα με το [[θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]] κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 παραγοντοποιείται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Δηλαδή σε αυτό το είδος δίνεται ένας φυσικός αριθμός α μεγαλύτερος του 1, ενώ ζητείται να βρεθούν [[πρώτοι αριθμοί]] β<sub>1</sub>,β<sub>2</sub>,β<sub>3</sub>...,β<sub>ν</sub> τέτοιοι, ώστε να ισχύει: <math>\alpha=\beta_1\cdot\beta_2\cdot\beta_3\cdot...\beta_\nu</math>
Διατάσσουμε τους πρώτους αριθμούς κατά αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Αν ένας αριθμός επαναλαμβάνονται, τότε αυτός αντικαθίσταται από μια [[Δύναμη (μαθηματικά)|δύναμη]] με βάση τον αριθμό και εκθέτη ίσο τον αριθμό των φορών επανάληψης. Έτσι, προκύπτει μία έκφραση του τύπου:
====Άθροισμα/διαφορά έβδομων δυνάμεων====
Τέλος,υπάρχει τύπος που υπολογίζει το άθροισμα ή τη διαφορά έβδομων δυνάμεων.Το άθροισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως
:<
:<math> \alpha^7 + \beta^7 = (\alpha + \beta)(\alpha^6 - \alpha^5 \beta + \alpha^4 \beta^2 - \alpha^3 \beta^3 + \alpha^2 \beta^4 - \alpha \beta^5 + \beta^6),\,\!</math>
και η διαφορά ως
:<math> \alpha^7 - \beta^7 = (\alpha - \beta)(\alpha^6 + \alpha^5 \beta + \alpha^4 \beta^2 + \alpha^3 \beta^3 + \alpha^2 \beta^4 + \alpha \beta^5 + \beta^6).\,\!</math>
====Άθροισμα/διαφορά n-οστών δυνάμεων====
Η παραπάνω παραγοντοποίηση διαφοράς δυνάμεων μπορεί να επεκταθεί για κάθε θετική ακέραια δύναμη χρησιμοποιώντας γεωμετρικές σειρές. Παρατηρώντας ότι
:<math> x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 = \frac{x^n -1}{x-1}, </math>
και πολλαπλασιάζοντας με τον παράγοντα του (''x'' − 1) βρίσκουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Για να δώσουμε έναν γενικό τύπο όπως στα προηγούμενα, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ''x'' με το ''α/β'' και πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη με το ''β''<sup>n</sup>. Αυτό δίνει τον γενικό τύπο της διαφοράς δύο n-οστών δυνάμεων ως:
:<math> \alpha^n - \beta^n = (\alpha-\beta)(\alpha^{n-1} + \beta\alpha^{n-2} + \beta^2 \alpha^{n-3} + \ldots + \beta^{n-2} \alpha + \beta^{n-1} ).\!</math>
Το αντίστοιχο άθροισμα δύο ν-οστών δυνάμεων εξαρτάται από αν ο ''n'' είναι άρτιος ή περιττός.
Αν ο ''n'' είναι περιττός, τότε το ''β'' μπορεί να αντικατασταθεί με το ''-β'' στον παραπάνω τύπο, ώστε να δώσει:
:<math> \alpha^n + \beta^n = (\alpha+\beta)(\alpha^{n-1} - \beta\alpha^{n-2} + \beta^2 \alpha^{n-3} - \ldots - \beta^{n-2} \alpha + \beta^{n-1} ).\!</math>
An o ''n'' είναι άρτιος ο τύπος είναι πιο περίπλοκος.
=== Εναλλακτικός τρόπος ===
Ένας διαφορετικός τρόπος για την παραγοντοποίηση αθροίσματος/διαφοράς n-οστών δυνάμεων (όπου n θετικός ακέραιος)<ref>{{Cite book|title=Μαθηματικό Τυπολόγιο|last=Περσίδης|first=Σωτήριος|publisher=(υπό έκδοση)|year=|isbn=|location=|page=}}</ref> είναι ο εξής:
<math>a^{2n} - b^{2n} = (a^2 - b^2)\prod_{k=1}^{n-1} \biggl(a^2 + b^2 -2ab\cos\frac{k\pi}{n} \biggr)</math>
<math>a^{2n} + b^{2n} = \prod_{k=0}^{n-1} \biggl(a^2 + b^2 +2ab\cos\frac{(2k+1)\pi}{n} \biggr)</math>
<math>a^{2n+1} - b^{2n+1} = (a - b)\prod_{k=1}^{n} \biggl(a^2 + b^2 -2ab\cos\frac{2k\pi}{2n+1} \biggr)</math>
<math>a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)\prod_{k=1}^{n} \biggl(a^2 + b^2 +2ab\cos\frac{2k\pi}{2n+1} \biggr)</math>
==Πηγές==
Σχολικά βιβλία μαθηματικών Γυμνασίου, και μαθηματικών της Β' Λυκείου γενικής παιδείας (ακαδημαϊκής χρονιάς 2007-2008)
* [https://web.archive.org/web/20111125032837/http://62gym-athin.att.sch.gr/algeb_c_k1/1_6.pdf Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων]
==Παραπομπές==
<references />
[[Κατηγορία:Αριθμητική]]
[[Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα]]
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| 