Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Κινηματική»

102 bytes προστέθηκαν ,  πριν από 5 μήνες
Προσθήκη της σελίδας στην φτερούγα
(Κινητική ειναι άλλος κλάδος της φυσικής)
(Προσθήκη της σελίδας στην φτερούγα)
 
{{πηγές|21|03|2015}}
Η '''Κινηματική''' (''Kinematics'', απ'το [[Ελληνική Γλώσσα|ελληνικό]] ''κινεῖν'') είναι κλάδος της [[μηχανική (φυσική)|μηχανικής]] που περιγράφει την [[κίνηση]] των σωμάτων αδιαφορώντας για τη [[μάζα]] τους ή τις αιτίες, [[Δύναμη|δυνάμεις]], που προκαλούν την κίνησή τους. ΣεΕν αντιθέσηαντιθέσει, με τη [[Δυναμική]] που λαμβάνει υπόψιν της και τη μάζα και τις δυνάμεις που ενεργούν στα σώματα και την αλληλεπίδραση τους που τελικά προκαλούν την κίνηση των σωμάτων καθώς και τον τρόπο της κίνησης της ύλης.
 
Γενικά η [[Φυσική]] είναι η [[επιστήμη]] που μελετά την εξέλιξη των [[φυσικό φαινόμενο|φυσικών φαινομένων]]. Στην έρευνα και μελέτη αυτή κυριαρχούν δύο γεωμετρικές έννοιες η "θέση" και το "μήκος". Αν σ΄ αυτές προστεθεί η έννοια του "χρόνου" τότε η όλη μελέτη ανάγεται στο αντικείμενο της "Κινηματικής". Συνεπώς η Κινηματική είναι η γεωμετρία της κίνησης. Υπάρχουν όμως και διαδικασίες τέτοιες μη αντιληπτές άμεσα όπως η κίνηση των ηλεκτρονίων, των πλανητών, των φορτίων, των μορίων των αερίων που προκαλούν πίεση κ.λπλ.π.
 
Στις τελευταίες αυτές περιπτώσεις έρχεται η δυναμική, κλάδος επίσης της Μηχανικής που εξετάζει εκτός τις παραπάνω βασικές έννοιες και τις έννοιες της μάζας, και της δύναμης αιτιολογώντας έτσι τη κίνηση της ύλης. Η θέση μετράται σε σχέση με ένα [[σύστημα συντεταγμένων]]. [[Ταχύτητα]] είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του σώματος. [[Επιτάχυνση]] είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι δύο βασικές ποσότητες που περιγράφουν πως μεταβάλλεται η θέση ενός σώματος.
 
== Μεταφορική κίνηση==
Γραμμική (ή μεταφορική) κινηματική είναι η περιγραφή της κίνησης στον χώρο ενός σημείου και της τροχιάς του (που μπορεί να είναι ευθύγραμμη ή καμπυλόγραμμη) και περιλαμβάνει τον ορισμοορισμό και τη χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:
:'''(Γραμμική) θέση'''
:'''(Γραμμική) ταχύτητα'''
Η παραπάνω εξίσωση σχετικής κίνησης δηλώνει ότι η κίνηση του Α σχετικά με το Ο είναι ίση με την κίνηση του Β σχετικά με το O συν την κίνηση του Α σχετικά με το Β.
 
Για παράδειγμα, έστω ότι η Άννα κινείται με ταχύτητα <math>\vec{V_{A}}</math> και ο Βασίλης κινείται με ταχύτητα <math>\vec{V_{B}}</math>, με την κάθε ταχύτητα να δίνεται σχετικά με το έδαφος. Για να βρούμε πόσο γρήγορα κινείται η Άννα σε σχέση με τον ΒασιλήΒασική (αυτή την ονομάζουμε ταχύτητα <math>\vec{V_{A/B}}</math>), η πάνω εξίσωση δίνει:
 
<center><math>\vec{V_{A}} = \vec{V_{B}} + \vec{V_{A/B}} \,\! .</math></center>
<center><math>\,v_f = v_i + a t \qquad v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)</math></center>
 
όπου ''v<sub>i</sub>'' και ''v<sub>f</sub>'' είναι η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα, ''x<sub>i</sub>'' and ''x<sub>f</sub>'' είναι η αρχική και η τελική θέση αντίστοιχα σε σχέση με έναν άξονα αναφοράς, ''a'' είναι η σταθερή επιτάχυνση, και ''t'' είναι το χρονικό διάστημα που πέρασε για να φτάσει το αντικείμενο απ' την αρχική στη τελική θέση.
 
=== Παράδειγμα: Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη πτωτική κίνηση σε μία διάσταση ===
Ας θεωρήσουμε ένα αντικείμενο που βάλλεται ευθύγραμμα προς τα πάνω και ξαναπέφτει στο έδαφος έτσι ώστε η τροχιά του να είναι ευθεία γραμμή. Αν θεωρήσουμε την πάνω κατεύθυνση ως τον θετικό άξονα, το σώμα δέχεται μια σταθερή επιτάχυνση με αλγεβρική τιμή περίπου -9.81&nbsp;m/s<sup>2</sup>. Γι' αυτό η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τις εξισώσεις τις ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης.
 
Υπάρχουν αρκετές ενδιαφέρουσες ερωτήσεις που θα μπορούσαμε να κάνουμε για την κίνηση του σωματιδίου: Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα; Σε τι ύψος θα φτάσει πριν αρχίσει να πέφτει; Ποια θα είναι η τελική του ταχύτητα όταν φτάσει στο έδαφος; Για το συγκεκριμένο παράδειγμα ας θεωρήσουμε ότι η αρχικηαρχική ταχύτητα του σωματιδίου είναι +50&nbsp;m/s.
 
==== ''Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα;'' ====
Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση χρησιμοποιούμε τον τύπο:
:<math>x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2.</math>
Εφόσον η ερώτηση αναφέρεται στο χρονικό διάστημα μεταξύ της αποχώρησής του απ' το έδαφος και της κρούσης του με το έδαφος, η μετατόπισή του είναι μηδέν.
:<math>0 = v_i t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i + \frac{1}{2} at)</math>
Βρίσκουμε δύο λύσεις για το t. Η μία είναι ότι το χρονικό διάστημα είναι μηδέν. Αυτό είναι επίσης σωστό, καθώς την πρώτη χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο έδαφος είναι τη χρονική στιγμή μηδέν: όταν αρχίζει να κινείται. Η απάντηση όμως που είναι δεκτή είναι
Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το σώμα έχει αρχική ταχύτητα μηδέν στο απόγειο της κίνησής του πριν αρχίσει να πέφτει. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση που χρησιμοποιήσαμε πριν, χρησιμοποιώντας την τιμή 127.55 m για το <math>x_i</math>.
:<math>v_f = \sqrt{v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)} = \sqrt{0^2 + 2 (-9.81) (0 - 127.55)} = 50\ m/s</math>
Βλέπουμε ότι η τελική και αρχική ταχύτητα είναι ίδιες, κάτι βέβαια που συμφωνεί και με την αρχή [[Διατήρηση της ενέργειας|διατήρησης της ενέργειας]].
 
=== Παράδειγμα: Βολή βλήματος σε δύο διαστάσεις ===
[[Αρχείο:Casting obliquely.gif|thumb|Ένα αντικείμενο βάλλεται υπό γωνία <math>\theta</math> απ'το έδαφος και ακολουθεί παραβολική τροχιά.]]
 
Ας υποθέσουμε ότι ένα βλήμα βάλλεται υπό γωνία <math>\theta</math> απ' το έδαφος και όχι κάθετα. Το αντικείμενο θα ακολουθήσει τότε παραβολική τροχιά, και η οριζόντια κίνησή του μπορεί να μελετηθεί ανεξάρτητα απ' την κάθετη κίνησή του ([[Αρχή της επαλληλίας]]).
==== Εξίσωση της τροχιάς ====
Εξίσωση της τροχιάς ονομάζεται μία σχέση y = f(x) (y η κατακόρυφη μετατόπιση και x η οριζόντια μετατόπιση), δηλαδή μία σχέση όπου δεν υπάρχει η μεταβλητή του χρόνου και η μετατόπιση στον ένα άξονα μπορεί να υπολογιστεί με μοναδικό δεδομένο τη μετατόπιση στον άλλο άξονα. Για να προκύψει η εξίσωση της τροχιάς πρέπει να γίνει απαλοιφή του χρόνου στις εξισώσεις της κινηματικής.
:<math>x=v_i \cos \theta \ t \Leftrightarrow \ t={x \over v_i \cos \theta }</math>
:
:Για τον κατακορυφοκατακόρυφο άξονα έχουμε:
:<math>y=v_i \sin \theta \ t - {1 \over 2} at^2</math>
:
:Κάνοντας αντικατάσταση του t απ' την πρώτη εξίσωση έχουμε:
:<math>y=v_i \sin \theta ({x \over v_i \cos \theta})-{1 \over 2} a({x \over v_i \cos \theta})^2</math>
:δηλαδή εξίσωση της μορφής <math>y=\beta x + \kappa x^2</math>, που είναι εξίσωση παραβολής.
 
==== ''Ποιο θα είναι το βεληνεκές του;'' ====
[[Βεληνεκές]] ονομάζουμε την απόσταση που θα διανύσει πριν πέσει στο έδαφος. Για τις ανάγκες του παραδείγματος υποθέτουμε ότι το αντικείμενο βάλλεται με αρχική ταχύτητα 50&nbsp;m/s και υπό γωνία 30 μοιρών απ' τον ορίζοντα. Το αντικείμενο δέχεται την επιτάχυνση της βαρύτητας με τιμή -9.81&nbsp;m/s<sup>2</sup> στην κάθετη διεύθυνση και καθόλου επιτάχυνση στην οριζόντια διεύθυνση. Γι' αυτό, η οριζόντια μετατόπισή του είναι
:<math>\Delta x = x_f - x_i = v_i \cos \theta \ t + \frac{1}{2} at^2 = v_i \cos \theta \ t</math>, όπως προκύπτει απ' την ανάλυση της ταχύτητας σε δύο συνιστώσες παράλληλες η κάθε μία στον οριζόντιο και τον κάθετο άξονα.
Για να λύσουμε την εξίσωση, πρέπει να βρούμε το t. Αυτό θα γίνει αναλύοντας την κίνηση στην κάθετη κατεύθυνση. Αν υποθέσουμε ότι η κάθετη μετατόπιση είναι μηδέν, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία που χρησιμοποιήσαμε και στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση για να βρούμε το t.
:<math>0 = v_i \sin \theta \ t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i \sin \theta + \frac{1}{2} at)</math>
 
==Κυκλική κίνηση==
[[Αρχείο:Angular velocity.svg|thumb|Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας έχει κατεύθυνση προς τα πάνω για αριστερόστροφη περιστρφοήπεριστροφή και προς τα κάτω για δεξιόστροφη περιστροφή, όπως ορίζει ο [[Κανόνας δεξιού χεριού|κανόνας του δεξιού χεριού]].]]
 
''Δείτε επίσης [[κυκλική κίνηση]].''
Περιστροφική κινηματική είναι η περιγραφή της περιστροφής ενός αντικειμένου και περιέχει τον ορισμό και την χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:
 
'''Γωνιακή θέση''': Αν ένα διάνυσμα οριστεί ως η προσανατολισμένη απόστασή του απ' τον άξονα περιστροφής (τον οποίο θεωρούμε σημείο αναφοράς) ενός σημειακού σημείου, η γωνιακή θέση αυτού του σημείου είναι η προσανατολισμένη γωνία θ από έναν άξονα αναφοράς (π.χ. τον θετικό ημιάξονα των x) αυτού του σημείου. Μια ''προσανατολισμένη γωνία'' είναι η γωνία που διαγράφηκε από έναν εκλεγμένο άξονα περιστροφής και κατά μία εκλεγμένη φορά περιστροφής ως θετική. Στην κινηματική των δύο διαστάσεων (όπως στην περιγραφή των πλανητών), ο άξονας περιστροφής είναι συνήθως το σημείο αναφοράς και αναπαρίσταται με το σημείο περιστροφής (ή κέντρο της κίνησης), και η φορά περιστροφής αναπαρίσταται με το πρόσημο της γωνίας (παραδεχόμαστε ότι το θετικό πρόσημο σημαίνει αριστερόστροφη φορά περιστροφής). Η ''γωνιακή μετατόπιση'' μπορεί να θεωρηθεί ως η σχετική θέση μεταξύ δύο σημείων και χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κίνησης. Αποτελεί την προσανατολισμένη γωνία που διαγράφηκε απ' το παραπάνω σημείο (ή διάνυσμα) από μια γωνιακή θέση σε μια άλλη.
 
'''Γωνιακή ταχύτητα''': Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας <math>\vec{\omega}</math> είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή θέση <math> \theta </math> αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:
<center><math>\mathbf{\alpha} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}</math></center>
 
Οι εξισώσεις της γραμμικής κινηματικής μπορούν να επεκταθούν και για την περιστροφική κινηματική με αλλάγήαλλαγή των αντίστοιχων μεταβλητών:
 
<center><math>\,\!\theta_f - \theta_i = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \qquad \theta_f - \theta_i = \frac{1}{2} (\omega_f + \omega_i)t</math></center>
 
== Συστήματα συντεταγμένων ==
Σε κάθε περίπτωση κινησηςκίνησης, το χρησιμότερο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται απ' τις συνθήκες υπό τις οποίες γίνεται η κίνηση ή απ' τη γεωμερικήγεωμετρική φύση της δύναμης που προκαλεί ή επηρεάζει την κίνηση. Συνεπώς για να περιγράψουμε την κίνηση μιας χάντρας που είναι περιορισμένη να κινείται σε ένα στεφάνι, η πιο χρήσιμη συντεταγμένη θα είναι η γωνία που σχηματίζει αναφορικά με το κέντρο του στεφανιού. Παρομοίως, για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σωματιδίου που κάνει κυκλική κίνηση λόγω της επίδρασης μιας [[Κεντρομόλος δύναμη|κεντρομόλου δύναμης]], το πιο χρήσιμο σύστημα συντεταγμένων είναι οι [[Πολικό σύστημα συντεταγμένων|πολικές συντεταγμένες]].
 
=== Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ===
 
Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων τα διανύσματα εκφράζονται ως άθροισμα συντεταγμένων στους x, y και z άξονες και τα σώματα που μελετάμε δεν περιστρέφονται. Συνήθως '''i''' είναι το [[μοναδιαίο διάνυσμα]] στον άξονα των x, '''j''' το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των y, και '''k''' το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των z.
 
Το διάνυσμα θέσης, '''s''' (ή '''r'''), το διάνυσμα της [[ταχύτητα]]ς, '''v''', και το διάνυσμα της [[επιτάχυνση]]ς, '''a''' εκφράζονται με την χρήση ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων ως εξής:
Αυτό το σύστημα αναφοράς περιγράφει μόνο την κυκλική κίνηση.
 
Αυτό το σύστημα συντεταγμένων βασίζεται σε τρία κάθετα μοναδιαία διανύσματα: το διάνυσμα '''i''' και το διάνυσμα '''j''' που σχηματιζούνσχηματίζουν ένα επίπεδο στο οποίο κείται το κινούμενο σώμα, και το διάνυσμα '''k''' γύρω απ' το οποίο λαμβάνει χώρα η περιστροφή. Σε αντίθεση με τις ορθοκανονικές συντεταγμένες, που μελετάμε ένα σημείο που δεν περιστρέφεται, το αντικείμενο μελέτης μπορεί περιστρέφεται και να μεταφέρεται.
 
====Παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων====
Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης ενός δοσμένου σημείου μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας αυτό το σύστημα αναφοράς, αλλά πρέπει να είμαστε λίγο πιο προσεκτικοί στη μελέτη μας απ' ό,τι στις ορθοκανονικές συντεταγμένες. Εφόσον το σημείο μέλετηςμελέτης περιστρέφεται, πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας τις παραγώγους των μοναδιαίων διανυσμάτων όταν παραγωγίζουμε οποιοδήποτε απ' αυτά τα διανύσματα. Αν η αρχή του συστήματος περιστρέφεται με ρυθμό '''<math>\omega</math>''' αριστερόστροφα (αυτό σημαίνει <math>\omega</math>'''k''' χρησιμοποιώντας τον [[Κανόνας δεξιού χεριού|κανόνα του δεξιού χεριού]]) τότε οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι οι εξής:
 
<math>\dot{\vec i} = \omega \vec k \times \vec i = \omega \vec j </math>
<math>\vec s = x \vec j</math>
 
ΔηλαδηΔηλαδή απέχει την απόσταση του από την αρχή και στην κατεύθυνση που απέχει από κάθενακαθ ένα απ' τα διανύσματα θέσης.
 
=====Ταχύτητα=====
<math>\vec v = \dot x \vec i + x \dot{\vec i} + \dot y \vec j + y \dot{\vec j}</math>
 
Που απ' τους παραπάνω τύπους αυτό γίνεται:
 
<math>\vec v = \dot x \vec i + x \omega \vec j + \dot y \vec j - y \omega \vec i = (\dot x - y \omega) \vec i + (\dot y + x \omega) \vec j</math>
<math>\frac{\mathrm{d} \vec v_{rel}}{\mathrm{d}t} = \vec a_{rel} + \omega \times \vec v_{rel}</math>
 
Στη συνέχεια ας εξετάσουμμεεξετάσουμε το <math>\frac{\mathrm{d} (\vec \omega \times \vec r)}{\mathrm{d}t}</math>. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας:
 
<math>\frac{\mathrm{d} (\vec \omega \times \vec r)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec \omega} \times \vec r + \vec \omega \times \dot{\vec r}</math>
\vec \omega \times \vec v_{rel} </math>
 
Και συμπτύσονταςσυμπτύσσονταν τους όρους:
 
<math>\vec a = \vec a_{rel} + 2(\omega \times \vec v_{rel}) +
== Συνθήκες κινηματικής ==
 
Μια συνθήκη κινηματικής είναι μια οποιαδήποτε κατάσταση που αφορά τις ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος που ισχύει καθ' όλη τη διάρκεια της μελέτης μας. Παρακάτω είναι μερικά κοινά παραδείγματα:
 
=== Κύλιση χωρίς ολίσθηση ===
 
Ένα αντικείμενο που κυλίεται σε μια επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει προϋποθέτει ότι η [[ταχύτητα]] του [[Κέντρο μάζας|κέντρου μάζας]] του ισούται με το [[Εσωτερικό γινόμενο|εξωτερικό γινόμενο]] της [[Γωνιακή ταχύτητα|γωνιακής του ταχύτητας]] με ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο επαφής και πέρας το κέντρο μάζας :
 
<center><math> v_G(t) = \omega \times r_{G/O} \,\!</math></center>
134

επεξεργασίες