'''Ακέραιοι''' ονομάζονται όλοι οι [[φυσικός αριθμός|φυσικοί αριθμοί]] μαζί με τους αντίθετούςαντίθετους τους και το μηδέν. Το [[σύνολο]] των ακεραίων δηλαδή το σύνολο: <center><math>\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\}</math></center> συμβολίζεταιΣυμβολίζεται με το γράμμα <math>\mathbb{Z}</math>, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει ''αριθμός''.<ref>{{En}} «''from the German word Zahl = number''». [https://kconrad.math.uconn.edu/ Conrad Keith]. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/divgcd.pdf Divisibility and greatest common divisor] από [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ kconrad.math.uconn.edu]. [https://web.archive.org/web/20190126171504/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/divgcd.pdf Αρχειοθετήθηκε] 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/about/author.html Weisstein, Eric W.] "Z." From ''[[MathWorld]]''--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Z.html. [https://web.archive.org/web/20170713154123/http://mathworld.wolfram.com/Z.html Αρχειοθετήθηκε] 13/07/2017. Ανακτήθηκε 28/01/2019.</ref>
Το σύνολο <math>\mathbb{Z}</math> ορίζεται επίσης ως εξής: <math>\mathbb{Z}=\{x-y:x,y\in\mathbb{N}\}</math>▼
▲Το σύνολο <math>\mathbb{Z}</math> ορίζεται επίσης ως εξής:
Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι [[άπειρο]] [[αριθμήσιμο]] με [[πληθάριθμος|πληθάριθμο]] <math>\aleph_0</math> (''άλεφ-μηδέν'').
== Συμβολισμοί ==
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα <math>\mathbb{Z}</math>, έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τηντη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με <math>\mathbb{Z}^-</math>, οι μη αρνητικοί με <math>\mathbb{Z}^*</math>και οι θετικοί με <math>\mathbb{Z^+}</math>.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/about/author.html Weisstein, Eric W.] "Z." From ''[[MathWorld]]''--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Integer.html. [https://web.archive.org/web/20190122221101/http://mathworld.wolfram.com/Integer.html Αρχειοθετήθηκε] 22/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.</ref> Ο ''δακτύλιος των ακεραίων'' μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο <math>\mathbb{I}</math>, εκτός από το συνήθες <math>\mathbb{Z}</math>.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/topics/Terr.html Terr, David] and [http://mathworld.wolfram.com/about/author.html Weisstein, Eric W.] "Ring of Integers." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RingofIntegers.html. [https://web.archive.org/web/20180115210916/http://mathworld.wolfram.com/RingofIntegers.html Αρχειοθετήθηκε] 15/01/2018. Ανακτήθηκε 28/01/2019.</ref>
== Αλγεβρικές Ιδιότητες ==
Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν '''αντιμεταθετικό [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]]''' ως προς την [[πρόσθεση]] και τον [[πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]]. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμοπολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.
Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν '''[[σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]'''. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι [[ρητοί αριθμοί]].
