Τριώνυμο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Διάσωση 2 πηγών και υποβολή 0 για αρχειοθέτηση.) #IABot (v2.0 |
Αλλαγή αρχικής περιγραφής, προσθήκη διαδικασίας ριζών και παραγοντοποίησης |
||
Γραμμή 1:
== Ρίζες Τριωνύμου ==
Ένα από τα βασικότερα προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι η εύρεση των τιμών που τα μηδενίζουν, δηλαδή η επίλυση της εξίσωσης <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0</math>. Η συγκεκριμένη εξίσωση συνήθως ονομάζεται δευτεροβάθμια εξίσωση ή εξίσωση 2ου βαθμού. Γι' αυτές τις εξισώσεις έχουν προταθεί πολλοί τρόποι επίλυσης, αλλά η πιο ευρέως διαδεδομένη είναι η μέθοδος της διακρίνουσας. Σε αυτή τη μέθοδο αρχικά υπολογίζεται η διακρίνουσα <math>\Delta</math> του τριωνύμου με βάση τον τύπο <math>\Delta = \beta^2-4\alpha\gamma</math>. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας το τριώνυμο έχει δύο, μία ή καμμιά πραγματική ρίζα. Πιο συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή <math>\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}</math>) θα ισχύει:
Αν <math>\Delta>0</math>, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες οι οποίες δίνονται από τους τύπους <math>x_1 = \frac{-\beta + \sqrt{\Delta}}{2\alpha}</math>, <math>x_2 = \frac{-\beta - \sqrt{\Delta}}{2\alpha}</math>.
Αν <math>\Delta=0</math>, τότε η εξίσωση έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, η οποία δίνεται από τον τύπο <math>x_1 = -\frac{\beta} {2\alpha}</math>. Η συγκεκριμένη ρίζα αναφέρεται συνήθως ως "διπλή ρίζα".
Τέλος, αν <math>\Delta<0</math>, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, δεν υπάρχουν δηλαδή πραγματικές τιμές που μηδενίζουν το αντίστοιχο τριώνυμο. Υπάρχουν όμως ρίζες που ανήκουν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών και οι οποίες δίνονται από τους τύπους <math>x_1 = \frac{-\beta + \sqrt{\Delta}\cdot\mathrm{i}}{2\alpha}</math>, <math>x_2 = \frac{-\beta - \sqrt{\Delta}\cdot\mathrm{i}}{2\alpha}</math>, όπου <math>\mathrm{i}</math> είναι η φανταστική μονάδα με <math>\mathrm{i}^2=-1</math>. Όπως προβλέπει και η θεωρία των μιγαδικών αριθμών, οι δύο ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.
== Παραγοντοποίηση Τριωνύμου ==
Πολύ συχνά προκύπτει η ανάγκη να μετατραπεί ένα τριώνυμο σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων, ώστε να γίνει κάποια απλοποίηση της παράστασης. Και σε αυτή την περίπτωση ο υπολογισμός της διακρίνουσας παίζει κρίσιμο ρόλο.
Αν <math>\Delta>0</math>, τότε το τριώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής: <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\cdot(x - x_1)\cdot(x-x_2)</math>, όπου <math>x_1, x_2 </math> είναι οι δύο πραγματικές ρίζες του τριωνύμου.
Αν <math>\Delta=0</math>, τότε μπορούμε να γράψουμε <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\cdot(x - x_1)^2</math>, όπου <math>x_1</math> είναι η διπλή ρίζα του τριωνύμου.
Τέλος, αν <math>\Delta<0</math>, τότε το τριώνυμο δε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές. Μπορεί βέβαια να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων με μιγαδικούς συντελεστές, χρησιμοποιώντας τις μιγαδικές ρίζες του τριωνύμου, δηλαδή: <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\cdot(x - x_1)\cdot(x-x_2)</math>.
== Παραπομπές ==
| |||