Συνάρτηση γάμμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 23:
:<math>{\Gamma(p)\over a^p}=\int_{0}^{\infty} e^{-ax} x^{p-1}\, dx=\mathcal{L}[x^{p-1}]</math> ο μετασχηματισμός Laplace,με '''a''' και '''p''' θετικούς αριθμούς
== Εφαρμογή της γενίκευσης του παραγοντικού συμβόλου στις συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξης ==
Η διαφορική εξίσωση του Bessel ακέραιας τάξης '''ν''' γράφεται:
:<math>x^2 y^{\prime\prime}+x y^\prime +(x^2-\nu^2)y=0</math> (1)
Η εξίσωση αυτή έχει δύο ανεξάρτητες λύσεις,τις συνάρτησεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους και τάξης '''ν'''.Η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους γράφεται σε μορφή δυναμοσειράς ως εξής:
:<math>J_\nu (x)=\sum_{k=0}^ \infty {(-1)^k \over k!(\nu+k)!}({x \over 2})^{\nu+2k}</math> (2)
Δύο βασικές αλγεβρικές ιδιότητες των συναρτήσεων Bessel πρώτου είδους είναι:
:<math>J_\nu ={x \over 2n}(J_{\nu-1}+J_{\nu+1})</math> (3)
:<math>J_\nu^\prime={1\over 2}(J_{\nu-1}-J_{\nu+1})</math> (4)
Για <math>\nu={1\over 2}</math> ή <math>\nu=-{1\over 2}</math>
έχουμε τις πρώτες ημιακέραιες τάξεις των συναρτήσεων Bessel που εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα Φυσικής και μπορούν να εκφραστούν με στοιχειώδεις συναρτήσεις.Με αναγωγή της εξίσωσης Bessel στην κανονική της μορφή βρίσκουμε πως για αυτές τις ημιακέραιες τιμές του '''ν''' οι (κανονικοποιημένες) συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους που ικανοποιούν την εξίσωση είναι:
:<math>J_{1/2}(x)=\sqrt{ {2 \over \pi x}}\sin x</math> (6)
:<math>J_{-1/2}(x)=\sqrt{ {2 \over \pi x}}\cos x</math> (7)
Όλες οι συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξης μπορούν να κατασκευαστούν συναρτήσει αυτών των (6) και (7) με βάση την (3).Θα πρέπει όμως η (3) να ισχύει και για μη ακέραια '''v'''.Αυτή η ισχύ εξασφαλίζεται αν οι συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξης οριστούν από την δυναμοσειρά (2).'''Για να γίνει αυτό όμως πρέπει πρώτα να αποκτήσει νόημα το παραγοντικό σύμβολο για μη ακέραιους αριθμούς και ακριβώς αυτό επιτυγχάνεται με τη συνάρτηση Γάμμα'''.
==Εφαρμογές==
| |||