Θεωρία κατηγοριών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλλάβουμε με αξιωματικό τρόπο τα κοινά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες που υπάρχουν σε διάφορες συλλογές παρόμοιων μαθηματικών δομών συσχετίζοντάς τες με το πως μετασχηματίζονται η μία στην άλλη μέσα από διαδικασίες ( συνήθως πρόκειται για συναρτήσεις ) που διατηρούν τα χαρακτηριστικά αυτών των δομών. Μια συστηματική μελέτη της Θεωρίας Κατηγοριών επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Η κατηγορία των ομάδων, '''Grp''', αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν δομή ομάδας, αυτά είναι τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας. Κάποιος μπορεί να προχωρήσει και να αποδείξει θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο των αξιωμάτων για τις ομάδες. Για παράδειγμα, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, αυτός είναι ο "κλασικός" τρόπος χωρίς την χρήση μεθόδων από την Θεωρία Κατηγοριών. Θα μπορούσε όμως κάνεις επιπρόσθετα να δουλέψει και με έναν άλλο τρόπο. Αντί να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα ( τις ομάδες στο παραδειγμά μας ) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η Θεωρία Κατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς – δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή – μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της '''Grp'''. Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας. Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων μεταξύ των τοπολογικών χώρων στην TοπολογίαΤοπολογία (η σχετική κατηγορία συμβολίζεται '''Top'''), και η μελέτη των λείων απεικονίσεων στις πολλαπλότητες (manifolds).