Βικιπαίδεια

Διωνυμική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
μ Μορφοποίηση κάποιων μαθηματικών και μία μικρή διόρθωση για το εύρος τιμών της p
Γραμμή 17:
! '''συνάρτηση πιθανότητας'''||'''παράμετροι'''||'''μέση τιμή'''||'''διακύμανση'''
|-
|<math>\,{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}</math>||<math>\,p\in ([0,1)], n\in\N</math>||<math>\,np</math>||<math>\,np(1-p)</math>
|-
|}
 
==Μοντέλο με κάλπη==
Θεωρούμε μια κάλπη με Κ<math>K</math> λευκές μπάλες και Ν<math>N-ΚK</math> μαύρες. Η πιθανότητα να τραβήξουμε μια λευκή μπάλα είναι <math>p=ΚK/N</math>.
Τραβάμε μια μια μπάλες από την κάλπη επανατοποθετώντας τις κάθε φορά πίσω στην κάλπη (''[[Τυχαίο δείγμα|δειγματοληψία]] με επαναφορά'') μέχρι να τραβήξουμε n μπάλες.
Ζητάμε την πιθανότητα οι <math>k</math> από αυτές να είναι λευκές.
 
Σύμφωνα με τον [[Θεωρία πιθανοτήτων#Έννοιες|κλασικό ορισμό της πιθανότητας]] αυτή ορίζεται ως το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.
 
Για κάθε λήψη έχουμε Ν<math>N</math> δυνατά αποτελέσματα. Στο σύνολο των n λήψεων τα δυνατά αποτελέσματα ειναι <math>N^n</math>.
Ευνοϊκά αποτελέσματα είναι αυτά κατα τα οποία έχουμε <math>k</math> λευκές μπάλες. Για τη λήψη μιας λευκής μπάλας έχουμε Κ<math>K</math> πιθανά αποτελέσματα και για την λήψη μιας μαύρης Ν<math>N-ΚK</math>. Τα δυνατά αποτελέσματα στις n λήψεις οι <math>k</math> να είναι λευκές για μια συγκεκριμένη σειρά, π.χ. να τραβήξουμε πρώτα όλες τις λευκές μπάλες και μετά τις μαύρες, είναι <math>K^k(N-K)^{n-k}</math>.
Όλες οι πιθανές διατάξεις <math>k</math> λευκών και <math>n-k</math> μαύρων μπαλών είναι <math>\scriptstyle\binom nk</math>.
 
Συνολικά η ζητούμενη πιθανότητα, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, είναι:
Γραμμή 48:
[[Image:Binomial Distribution.svg|right|150px|thumb| Διωνυμική [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας|σππ]] σε σύγκριση με την κανονική κατανομή ''n''&nbsp;=&nbsp;6 and ''p''&nbsp;=&nbsp;0.5]]
Για μεγάλο n η διωνυμική κατανομή συγκλίνει σύμφωνα με το [[θεώρημα de Moivre–Laplace]] στην [[κανονική κατανομή]] με [[μέση τιμή]] <math>np</math> και [[διασπορά]] <math>np(1-p)</math>
:<math> \mathcal{N}(np,\, np(1-p)).</math>.
 
===Κατανομή Poisson ===
Για <math>\scriptstyle n\rightarrow\infty</math> και <math>\scriptstyle p\rightarrow 0</math> έτσι ώστε ''<math>np''</math> σταθερό η διωνυμική κατανομή συγκλίνει στην [[κατανομή Poisson]] με παράμετρο ''np<math>\lambda =λ'' np</math>.
:<math>\begin{align}
\lim_{n\to\infty}P(X=k) & =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Διωνυμική_κατανομή"