Κλειστότητα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

2.763 bytes προστέθηκαν ,  πριν από 2 μήνες
Αναδιατύπωση μαθηματικού ορισμού; Προσθήκη παραπομπών; Προσθήκη παραδειγμάτων
μ (καλυτερη διατύπωση)
(Αναδιατύπωση μαθηματικού ορισμού; Προσθήκη παραπομπών; Προσθήκη παραδειγμάτων)
Απλά και περιγραφικάΠεριγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της '''κλειστότητας''' σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα [[σύνολο]] ως έξης :
:Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο της ομάδος και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο της ομάδος.
 
Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:<ref>{{cite book |last=Fraleigh |first=John B. |title=A first course in abstract algebra |year=2013 |publisher=Pearson Education |location=Harlow, Essex |isbn=9781292037592 |pages=21 |edition=Seventh}}</ref>
:Έστω ένα σύνολο <math>S</math>, μία [[Δυαδική πράξη|δυαδική πράξη]] <math>\cdot</math> στο σύνολο (δηλαδή <math>\cdot : S \times S \to S</math>) και ένα σύνολο <math>H \subseteq S</math>. Τότε το <math>(H , \cdot)</math> ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν
:Έστω <math>(G , \cdot)</math> ένα σύνολο και μια πράξη δηλαδή καλώς ορισμένη συνάρτηση  f:●(GXG)→G
::<math>\forall a, b \in H. a \cdot b \in H</math>.
Τότε λέμε ότι το <math>H</math> είναι '''κλειστό ως προς''' την πράξη <math>\cdot</math>.<ref>{{cite web |last=Μαρμαρίδης |first=Νίκος |title=Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων |url=http://users.uoi.gr/abeligia/RingTheory2020/RingTheory_NM.pdf |publisher=Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων |accessdate=18 Ιουλίου 2022 |pages=1}}</ref>
 
== Παραδείγματα ==
Αν ꓯ( α , β ) є (GXG)→α●β є G
 
* Το <math>(\Z, -)</math> δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο [[Αντίστροφος|αντίστροφο]].
* Το <math>(\N, -)</math> δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους '''δεν''' ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα <math>3 - 5 = -2</math>, που δεν ανήκει στο <math>\N</math>.
* Έστω <math>H = \{ 2k : k \in \N \}</math>, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
* Έστω <math>H = \{ k^3 : k \in \N \}</math>, το σύνολο των [[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]] φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> '''δεν''' ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. <math>1^3 + 2^3 = 9</math> που δεν είναι κύβος).
* Εξ'ορισμού σε κάθε [[Μονοειδές|μονοειδές]], [[Ομάδα|ομάδα]], [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]], [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]], το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.
 
== Παραπομπές ==
<references/>
 
[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]]
340

επεξεργασίες