Κλειστότητα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ καλυτερη διατύπωση |
Αναδιατύπωση μαθηματικού ορισμού; Προσθήκη παραπομπών; Προσθήκη παραδειγμάτων |
||
Γραμμή 1:
:Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο
Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:<ref>{{cite book |last=Fraleigh |first=John B. |title=A first course in abstract algebra |year=2013 |publisher=Pearson Education |location=Harlow, Essex |isbn=9781292037592 |pages=21 |edition=Seventh}}</ref>
:Έστω ένα σύνολο <math>S</math>, μία [[Δυαδική πράξη|δυαδική πράξη]] <math>\cdot</math> στο σύνολο (δηλαδή <math>\cdot : S \times S \to S</math>) και ένα σύνολο <math>H \subseteq S</math>. Τότε το <math>(H , \cdot)</math> ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν
::<math>\forall a, b \in H. a \cdot b \in H</math>.
Τότε λέμε ότι το <math>H</math> είναι '''κλειστό ως προς''' την πράξη <math>\cdot</math>.<ref>{{cite web |last=Μαρμαρίδης |first=Νίκος |title=Σημειώσεις στην Θεωρία Δακτυλίων |url=http://users.uoi.gr/abeligia/RingTheory2020/RingTheory_NM.pdf |publisher=Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων |accessdate=18 Ιουλίου 2022 |pages=1}}</ref>
== Παραδείγματα ==
* Το <math>(\Z, -)</math> δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο [[Αντίστροφος|αντίστροφο]].
* Το <math>(\N, -)</math> δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους '''δεν''' ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα <math>3 - 5 = -2</math>, που δεν ανήκει στο <math>\N</math>.
* Έστω <math>H = \{ 2k : k \in \N \}</math>, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
* Έστω <math>H = \{ k^3 : k \in \N \}</math>, το σύνολο των [[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]] φυσικών αριθμών και <math>+</math> η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το <math>(H, +)</math> '''δεν''' ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. <math>1^3 + 2^3 = 9</math> που δεν είναι κύβος).
* Εξ'ορισμού σε κάθε [[Μονοειδές|μονοειδές]], [[Ομάδα|ομάδα]], [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]], [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]], το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.
== Παραπομπές ==
<references/>
[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]]
| |||