Διάταξη: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Ρομπότ: προσθήκη σήμανσης επαληθευσιμότητας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
Στα [[μαθηματικά]], μία '''διάταξη''' μεγέθους <math>k</math> ενός [[σύνολο|συνόλου]] <math>Z</math> με <math>n</math> στοιχεία, είναι οποιαδήποτε διατεταγμένη <math>k</math>-άδα <math>(z_1, \ldots , z_k)</math>, όπου <math>z_1, \ldots, z_k</math> είναι στοιχεία του <math>Z</math> και διαφορετικά μεταξύ τους.<ref>{{cite web |last=Αντωνίου |first=Ευστάθιος |title=Μαθηματικά ΙΙΙ: Διακριτά Μαθηματικά |url=https://people.iee.ihu.gr/~antoniou/docs/math_III/math_III_master.pdf |publisher=Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Ηλεκτρονικών Συστημάτων |accessdate=1 Φεβρουαρίου 2023}}</ref>{{rp|58-59}}<ref>{{cite web |last=Δημητράκος |first=Θεοδόσης |title=Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική |url=http://www.samos.aegean.gr/math/dimitheo/Sindiastiki_Kef_2.pdf |publisher=Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου |accessdate=1 Φεβρουαρίου 2023}}</ref>
Για παράδειγμα, για το σύνολο <math>Z = \{\alpha, \beta, \gamma, \delta\}</math>, οι δυνατές διατάξεις μεγέθους <math>2</math> είναι οι εξής:
:<math>(\alpha, \beta)</math>, <math>(\alpha, \gamma)</math>, <math>(\alpha, \delta)</math>, <math>(\beta, \gamma)</math>, <math>(\beta, \delta)</math>, <math>(\gamma, \delta)</math>,
:<math>(\beta, \alpha)</math>, <math>(\gamma, \alpha)</math>, <math>(\delta, \alpha)</math>, <math>(\gamma, \beta)</math>, <math>(\delta, \beta)</math>, <math>(\delta, \gamma)</math>.
Μερικές από τις δυνατές διατάξεις μεγέθους <math>3</math> είναι οι εξής: <math>(\alpha, \delta, \gamma)</math>, <math>(\gamma, \beta, \alpha)</math> και <math>(\gamma, \beta, \alpha)</math>. Ενώ οι τριάδες <math>(\alpha, \beta, \alpha)</math> και <math>(\delta, \delta, \alpha)</math> δεν είναι διατάξεις, καθώς επαναλαμβάνουν στοιχεία.
Στις [[διάταξη με επανάληψη|διατάξεις με επανάληψη]], τα στοιχεία της <math>k</math>-άδας μπορεί να είναι τα ίδια. Στους [[συνδυασμός|συνδυασμούς]] <math>n</math> ανά <math>k</math>, η σειρά των στοιχείων της <math>k</math>-άδας δεν έχει σημασία.
== Πλήθος διατάξεων ==
Το πλήθος των διατάξεων <math>n</math> στοιχείων ανά <math>k</math> δίνεται από τον εξής τύπο:
:<math>(n)_k = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)</math>.
Η απόδειξη για αυτόν τον τύπο βασίζεται στις εξής παρατηρήσεις:
* Για την πρώτη θέση υπάρχουν <math>n</math> δυνατά στοιχεία που μπορούμε να τοποθετήσουμε,
* Για την δεύτερη θέση υπάρχουν <math>n-1</math> δυνατά στοιχεία (όλα εκτός από αυτό που τοποθετήσαμε στην πρώτη θέση),
* Για την τρίτη θέση υπάρχουν <math>n-2</math> δυνατά στοιχεία
* <math>\ldots</math>
* Για την <math>k</math>-οστή θέση, υπάρχουν <math>n - k + 1</math> δυνατά στοιχεία.
Πολλαπλασιάζοντας τις δυνατές επιλογές σε κάθε βήμα λαμβάνουμε το πλήθος των δυνατών διατάξεων.
Υπενθυμίζοντας ότι το <math>n</math> [[παραγοντικό]] ορίζεται ως
:<math>n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1</math>,
το πλήθος των διατάξεων μπορεί να εκφραστεί ως
:<math>(n)_k = \frac{n!}{(n-k)!}.</math>
Για <math>n = k</math>, οι διατάξεις <math>n</math> ανά <math>n</math> είναι οι [[μετάθεση (μαθηματικά)|μεταθέσεις]] και το πλήθος τους είναι <math>n!</math>.
== Δείτε επίσης ==
* [[Διάταξη με επανάληψη|Διατάξεις με επανάληψη]]
== Παραπομπές ==
<references/>
{{Μαθηματικά-επέκταση}}▼
[[Κατηγορία:Διακριτά μαθηματικά]]
▲{{Μαθηματικά-επέκταση}}
| |||