Άθροιση

Η Άθροιση είναι η πρόσθεση ενός συνόλου αριθμών. Το αποτέλεσμα της είναι το άθροισμα. Οι "αριθμοί" (ή όροι) προς πρόσθεση μπορεί να είναι φυσικοί αριθμοί, μιγαδικοί αριθμοί, πίνακες, ή ακόμη πιο περίπλοκα αντικείμενα. Ένα άθροισμα με άπειρους όρους είναι γνωστό ως σειρά.

Συμβολισμός

Το άθροισμα των $1$, $2$ και $5$ είναι $1+2+5=8$. Αφού για την πρόσθεση ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα, δεν παίζει ρόλο αν ερμηνεύουμε το "$1+2+5$" ως $(1+2)+5$ ή ως $1+(2+5)$. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, οπότε οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται σε ένα άθροισμα. Η πρόσθεση είναι επίσης αντιμεταθετική πράξη, οπότε η σειρά με την οποία γράφονται οι αριθμοί δεν επηρεάζει το άθροισμα (σε πεπερασμένα αθροίσματα).

Εάν ένα άθροισμα έχει πάρα πολλούς όρους, αντί να γραφτούν όλοι ξεχωριστά, το άθροισμα μπορεί να γραφτεί με ένα σύμβολο αποσιωπητικών, ώστε να σημειωθούν οι παραλειπόμενοι όροι. Κατά αυτό τον τρόπο, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το $1$ έως το $100$ είναι $1+2+\ldots +99+100=5050$.

Τα αθροίσματα μπορούν να αναπαρασταθούν με το σύμβολο της άθροισης, ένα κεφαλαίο σίγμα. Αυτό ορίζεται ως εξής:

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.$

Η υπόστιξη δίνει το σύμβολο για μιά μεταβλητή-δείκτη (dummy variable), το i. Εδώ, το i εκπροσωπεί τον δείκτη της άθροισης· το m είναι το κάτω όριο της άθροισης, και το n είναι το πάνω όριο της άθροισης. Άρα, για παράδειγμα:

$\sum _{x=2}^{6}x^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.$

Κάποιος συχνά βλέπει γενικεύσεις αυτού του συμβολισμού στην περίπτωση στην οποία παρέχεται μια αυθαίρετη λογική συνθήκη, και το άθροισμα κρίνεται σκόπιμο να αναχθεί σε όλες τις τιμές που αντιπροσωπεύουν την συνθήκη. Για παράδειγμα, το:

$\sum _{0\leq x<100}f(x)$

είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους (ακέραιους) αριθμούς x στο συγκεκριμένο διάστημα (εδώ το διάστημα $[0,100]=\{0,1,\ldots ,100\}$. Tο

$\sum _{x\in S}f(x)$

είναι το άθροισμα της f(x) για όλα τα στοιχεία x σε ένα σύνολο S. Για παράδειγμα, για $S=\{1.5,3,4.2\}$ και $f(x)=x^{2}$, ισχύει ότι $\sum _{x\in S}x^{2}=1.5^{2}+3^{2}+4.2^{2}=28.89$. Tέλος, το

$\sum _{d|n}\;\mu (d)$

είναι το άθροισμα της μ(d) για όλους τους φυσικούς αριθμούς d που διαιρούν τον n.

Υπάρχουν επίσης τρόποι για την γενίκευση της χρήσης των διαφόρων συμβόλων σίγμα. Για παράδειγμα, το

$\sum _{\ell ,\ell '}$

είναι το ίδιο με το

$\sum _{\ell }\sum _{\ell '}.$

Υπολογιστικός συμβολισμός

Τα αθροίσματα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε μια γλώσσα προγραμματισμού. Το $\textstyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}$ υπολογίζεται από το ακόλουθο πρόγραμμα σε C / C++ / Javascript:

 sum=0;
 for(i=m; i<=n; i++)
     sum += x[i];

και το ακόλουθο πρόγραμμα σε Pascal:

 sum:=0;
 for i:=m to n do
     sum := sum + x[i];

ή, απλούστερα, σε Ψευδοκώδικα:

sum ← 0
ΓΙΑ i ΑΠΟ m ΕΩΣ n ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ
    sum ← sum + x[i]
ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

Ειδικές περιπτώσεις

Είναι δυνατό να προστεθούν λιγότεροι από 2 αριθμοί:

• Αν προστεθεί ο μόνος όρος x, τότε το άθροισμα είναι x.
• Αν προστεθούν μηδέν όροι, τότε το άθροισμα είναι μηδέν, αφού το μηδέν είναι ο ουδέτερος όρος για την πρόσθεση. Αυτό είναι γνωστό σαν το κενό άθροισμα.

Αυτές οι εκφυλισμένες περιπτώσεις συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο όταν ο συμβολισμός της πρόσθεσης δίνει ένα εκφυλισμένο αποτέλεσμα σε μια ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, αν m = n στον παραπάνω ορισμό, τότε υπάρχει μόνο ένας όρος στο άθροισμα· αν m = n + 1, τότε δεν υπάρχει κανένας.

Προσέγγιση με ορισμένα ολοκληρώματα

Πολλές τέτοιες προσεγγίσεις μπορούν να ανακτηθούν από την ακόλουθη σύνδεση μεταξύ αθροισμάτων και ολοκληρωμάτων, η οποία ισχύει για κάθε αύξουσα συνάρτηση f.

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.$

Για πιό γενικές προσεγγίσεις, βλέπε Τύπος Όιλερ-Μακλωρέν.

Για συναρτήσεις οι οποίες είναι ολοκληρώσιμες στο διάστημα $[a,b]$, το Ρημάνειο άθροισμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος. Για παράδειγμα, ο ακόλουθος τύπος είναι το Ρημάνειο άθροισμα με ίση κατάτμηση του διαστήματος:

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Η ακρίβεια μια τέτοιας προσέγγισης αυξάνει με τον αριθμό n των υποδιαστημάτων.

Ταυτότητες

Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες ταυτότητες:

• $\sum _{i=1}^{n}x=nx$
• $\sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}$
• $\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ (βλέπε αριθμητική πρόοδος)
• $\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
• $\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$
• $\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$

όπου $B_{k}$ είναι ο k-οστός αριθμός Μπερνούλι.

• $\sum _{i=m}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-x^{m}}{x-1}}$ (βλέπε γεωμετρική πρόοδος)
• $\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ (ειδική περίπτωση της παραπάνω όπου m = 0)
• $\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$ (βλέπε δυωνυμικός συντελεστής)
• $\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}$
• $\left(\sum _{i}a_{i}\right)\left(\sum _{j}b_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}$
• $\left(\sum _{i}a_{i}\right)^{2}=2\sum _{i}\sum _{j<i}a_{i}a_{j}+\sum _{i}a_{i}^{2}$

Άθροισμα διανυσμάτων

Θεωρούμε το σύνολο $\mathbb {K} ^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},\ldots )|x_{i}\in \mathbb {K} ,i\in \mathbb {N} \}.$

Ορίζουμε το μηδενικό διάνυσμα ${\tilde {0}}\in \mathbb {K} ^{\infty }$ ώστε ${\tilde {0}}=(0,0,\ldots )$

Οι πράξεις ορίζονται κατά συνιστώσα: εάν ${\tilde {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots )$, ${\tilde {y}}=(y_{1},y_{2},\ldots )$ και ${\tilde {z}}=(z_{1},z_{2},\ldots )$, τότε για κάθε ${\tilde {x}},{\tilde {y}},{\tilde {z}}\in \mathbb {K} ^{\infty }$:

• ${\tilde {0}}\dotplus {\tilde {0}}={\tilde {0}}\dotplus (-{\tilde {0}})={\tilde {0}}.$

• ${\tilde {x}}={\tilde {0}}\dotplus {\tilde {x}}={\tilde {x}}\dotplus {\tilde {0}}=(x_{1}+0,x_{2}+0,\ldots ).$

• ${\tilde {x}}\dotplus {\tilde {y}}={\tilde {y}}\dotplus {\tilde {x}}=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ).$

• $({\tilde {x}}\dotplus {\tilde {y}})\dotplus {\tilde {z}}={\tilde {x}}\dotplus ({\tilde {y}}\dotplus {\tilde {z}}).$

• ${\tilde {x}}\dotplus (-{\tilde {x}})={\tilde {0}}.$

Για κάθε $a\in \mathbb {K}$

• $a\cdot ({\tilde {x}}\dotplus {\tilde {y}})=a\cdot {\tilde {x}}\dotplus a\cdot {\tilde {y}}.$

Επίσης, τα αθροίσματα διανυσμάτων ${\tilde {x}}_{i}$στο $\mathbb {K} ^{\infty },$ ορίζονται ως

• $\sum _{i\in \mathbb {N} }{\tilde {x}}_{i}={\tilde {x}}_{1}\dotplus {\tilde {x}}_{2}\dotplus \cdots \dotplus {\tilde {x}}_{n}\dotplus \cdots .$
• $\sum _{i\in \mathbb {N} }{\tilde {x}}_{i}\dotplus {\tilde {y}}_{i}=\sum _{i\in \mathbb {N} }{\tilde {y}}_{i}\dotplus {\tilde {x}}_{i}=({\tilde {x}}_{1}\dotplus {\tilde {y}}_{1})\dotplus ({\tilde {x}}_{2}\dotplus {\tilde {y}}_{2})\dotplus \cdots \dotplus ({\tilde {x}}_{n}\dotplus {\tilde {y}}_{n})\dotplus \cdots .$
• $\left(\sum _{i\leq N}{\tilde {x}}_{i}\right)\dotplus \left(\sum _{j\leq N}{\tilde {y}}_{j}\right)=\sum _{i,j\leq N}({\tilde {x}}_{i}\dotplus {\tilde {y}}_{j}).$

Μια δυναμοσειρά μεταβλητής $t$ με συντελεστές στο $\mathbb {K}$ είναι ένα τυπικό άθροισμα

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}t^{i},$ όπου $a_{i}\in \mathbb {K} ,i\in \mathbb {N} _{0}.$

Η πρόσθεση δυναμοσειρών, ορίζονται ως εξής

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}t^{i}\right)\dotplus \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}t^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}\dotplus b_{k})t^{k}.$

Ρυθμοί αύξησης

Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες προσεγγίσεις (χρησιμοποιώντας συμβολισμό θήτα, αγγλ. theta):

• $\sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})$ για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του -1
• $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)$
• $\sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})$ για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του 1
• $\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ για μη αρνητικό πραγματικό αριθμό c
• $\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς c, d
• $\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς b > 1, c, d