Αλγεβρικό στοιχείο

Έστω $K/L$ επέκταση σωμάτων. Ένα στοιχείο $k\in K$ καλείται αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $L$ (algebraic element over L) αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές από το $L$, δηλαδή $a_{n}k^{n}+a_{n-1}k^{n-1}+...a_{1}k+a_{0}=0$ όπου $a_{i}\in L$ και τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διάφορο του μηδενός.

Αν δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο, τότε το $k$ καλείται υπερβατικό στοιχείο πάνω από το $L$ (transcedental element over L).

Οι έννοιες του αλγεβρικού αριθμού και του υπερβατικού αριθμού είναι ειδικές περιπτώσεις των προαναφερθεισών εννοιών του αλγεβρικού και υπερβατικού στοιχείου πάνω από ένα σώμα $L$ αντίστοιχα, όπου $K=\mathbb {C}$ και $L=\mathbb {Q}$.

Παραδείγματα

• Ο ${\sqrt {2}}$ είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $\mathbb {Q}$ καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^{2}-2\in \mathbb {Q} [t]$.

• Η φανταστική μονάδα i είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $\mathbb {Q}$ καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^{2}+1\in \mathbb {Q} [t]$.

• Ο π είναι υπερβατικός αριθμός αλλά αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $\mathbb {R}$.