Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας . Έστω ο χώρος πιθανότητας
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
μετρήσιμος χώρος
(
R
¯
,
B
)
{\displaystyle ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}})}
R
¯
=
R
∪
{
−
∞
,
∞
}
{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
σ-άλγεβρα . Αν η
X
{\displaystyle \,X}
P
−
{\displaystyle P-}
E
(
X
)
=
∫
Ω
X
d
P
=
∫
Ω
X
(
ω
)
P
(
d
ω
)
{\displaystyle E(X)=\int _{\Omega }X\,dP=\int _{\Omega }X(\omega )P(d\omega )\,}
Διακριτές τυχαίες μεταβλητές
Επεξεργασία
Έστω
X
{\displaystyle \,X}
x
i
,
i
∈
N
,
N
⊂
N
{\displaystyle x_{i},i\in N,N\subset \mathbb {N} }
p
i
=
P
(
X
=
x
i
)
{\displaystyle \,p_{i}=P(X=x_{i})}
E
(
X
)
=
∑
i
∈
N
x
i
p
i
.
{\displaystyle E(X)=\sum _{i\in N}x_{i}p_{i}.}
Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:
∑
i
∈
N
|
x
i
|
p
i
<
∞
.
{\displaystyle \sum _{i\in N}|x_{i}|p_{i}<\infty .}
Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Επεξεργασία
Έστω
X
{\displaystyle \,X}
συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
f
(
x
)
{\displaystyle \,f(x)}
E
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,}
Έστω
X
{\displaystyle \,X}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
(
X
)
+
b
{\displaystyle \operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b\,}
Έστω
X
,
Y
{\displaystyle \,X,Y}
E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)\,}
Έστω
X
,
Y
{\displaystyle \,X,Y}
ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:
E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
E
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\,}
